«Геометрия пространств модулей когерентных стабильных пучков на рациональных многообразиях Фано основной серии» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Васильев Данил Анатольевич

• Васильев Данил Анатольевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Васильев Данил Анатольевич

исследований

Методы получения результатов диссертации

Возможные применения результатов диссертации

Структура диссертации

Пространства модулей полустабильных пучков

Построение стабильных расслоений ранга 2 на Р3 посредством

симплектических расслоений ранга

Бесконечная серия рациональных компонент модулей пучков Р3

Модули пучков ранга 2 на трехмерных многообразиях Фано

Р3

1.1 Некоторые свойства математических инстантонов

1.2 Построение стабильных расслоений ранга 2 с четным детерминантом

1.3 Построение стабильных расслоений ранга 2 с нечетным детерминантом

1.4 Примеры компонент в пространствах модулей стабильных векторных расслоений с малыми значениями С2

1.4.1 Компоненты М(0, п) серии £о Для п <

1.4.2 Компоненты М( — 1,п) серии £1 для п <

Р3

2.1 Действие одномерного тора

2.2 Существование стабильных пучков

2.3 Компоненты 5з(Ь, с)

2.4 Рациональность 5(0, Ь,с)

3 Пучки на многообразиях Фано

3.1 Предварительные сведения

3.2 Полустабильные объекты ранга два в Db(X2) с максимальным третьим классом Черна сз

3.3 Бесконечные серии компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга два на многообразиях

Xi, X2, X4 и X5

3.3.1 Первая серия

3.3.2 Вторая серия

3.3.3 Третья серия

3.3.4 Рефлексивные стабильные пучки общего типа с ci =0

X4 X5

3.4 Пространства модулей полустабильных пучков ранга два с максимальным третьим классом Черна на трехмерной квадрике X2

3.4.1 Общий случай полустабильных пучков ранга два с —1 <

ci < 0 и максимальным классом сз на квадрике X2

3.4.2 Специальные случаи полустабильных пучков ранга два

c2

сом с3 > 0 на X2 ......................Ill

3.5 Ограниченность третьего класса Черна стабильных рефлек-

ci =

X4 X5

3.5.1 Стабильные рефлексивные пучки ранга два общего ти-

ci = 0 X5

3.5.2 Стабильные рефлексивные пучки ранга два общего ти-

X4

Заключение

Список литературы

Введение

Общее описание области исследований

Векторные расслоения ранга два на проективном пространстве Р3 были одним из центральных объектов изучения в алгебраической геометрии с 1970-х годов, когда стало известно, что определенные алгебраические расслоения

Р3

как антиавтодуальные связности на сфере £4 со структурной группой Би(2) [11]. Эти расслоения были названы математическими инстантонами. Пссле-

Р3

активно с 2010-х годов, когда было показано, что пространства модулей математических инстантонов с фиксированными классами Черна неприво-димы [57. 58]. В то же время, пространства модулей произвольных полустабильных когерентных пучков с фиксированными классами Черна могут иметь несколько неприводимых компонент, и их геометрические свойства

Р3

изучение пучков ранга 2 на других трехмерных многообразиях Фано только начинает развиваться в последние годы (см.. например, недавние статьи [10, 19, 55]).

Основные результаты диссертации, выносимые на защи-

В данной диссертации мы строим несколько бесконечных серий неприводимых компонент пространств модулей когерентных пучков ранга 2 на рациональных трехмерных многообразиях Фано на проективном пространстве Х1 = Р3, та гладкой квадрике Х2, та пересечении двух квадрик Х4 и на Х5 — линейном сечении коразмерности 3 грассманиана Ог(2, 5), вложенного в проективное пространство по Плюккеру. В их число входят серия £0 из теоремы 1.2.1, серия Е1 го теоремы 1.3.1, серии Мк,т,п из теорем 3.3.2 и 3.3.3, серия Мт из теоремы 3.3.4, серия Мт из теоремы 3.3.5 и серии Мк,т,п из теоремы . Также построена серия неприводимых компонент 5з(6, с)

Р3

пне ) Доказана рациональность компонент 53(6, с) при 3 | (26 + с) (см. теорему ), компонент 5(0,6, с), введённых в [ ], (см. теорему ),

компонент из теорем 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. 3.3.5. а также компонент из теоремы для многообразий Х1,Х2ш Х5. В случае квадрики Х2 мы получаем точные оценки на третий класс с3 с1 с2

с3

этом мы следуем работе Шмидта [53]. в которой аналогичным образом изучались пучки на проективном пространстве. Важным новым результатом нашей работы является нахождение первого известного примера несвязного пространства модулей полустабильных пучков ранга 2 с фиксированными классами Черна на гладком проективном трехмерном многообразии (см. теорему 0.0.9). Также мы даем оценки на третий класс Черна так называемых пучков общего типа па Х4 и Х5 (см. теоремы и ).

Место результатов диссертации в общем контексте области исследований

Наши результаты по описанию неприводимых компонент пространств мо-

Р3

зультатов других математиков, в частности, результатов из статей [57. 58. 51. 21. 9]. что описано более подробно в разделе . Конструкция неприводимых компонент 5з(Ь, с) является развитием идеи построения компонент 5(а,Ь,с) из статьи [ ], что описано в разделе . Результаты по описанию

Х2

Черна являются непосредственным обобщением результатов, полученных

Р3

Методы получения результатов диссертации

Р3

получены при помощи метода монад, введенных в [16]. Используемые при этом монады являются обобщением монад из [9] и также опираются на понятие снмплектнческнх инстантонных расслоений. Кроме того, в конструкции данных компонент используются методы теории деформаций. Доказательство рациональности неприводимых компонент 5з(Ь, с) основывается на результатах Бялыницкого-Бирулы [12] и использует понятие эквивариантного разрешения особенностей [37]. Описание полустабильных пучков на квад-

рике Х2 с максимальным третьим классом Черна получено при помощи теории условий стабильности по Бриджленду на трехмерных многообразиях и тилт-стабильности. развитой в [17. 54].

Возможные применения результатов диссертации

Проведенные исследования носят теоретический характер. Их результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения пространств модулей стабильных н полустабильных пучков па многообразиях Фано. и. в частности. для получения точных оценок на третий класс Черна полустабильных Х4 Х5

Структура диссертации

В разделе мы напоминаем определение пространств модулей полустабильных пучков и приводим некоторые предварительные понятия и соглашения. В разделе введения «Пространства модулей полу стабильных пучков» мы описываем наши совместные с А. С. Тихомировым и С. А. Тихомировым [7] результаты, касающиеся построения двух новых бесконечных серий

Р3

сматриваемые в разделе 1. В разделе введения «Бесконечная серия раци-

Р3

конструкцию бесконечной серии рациональных компонент пространства мо-

Р3

затем подробно в разделе 2. В разделе введения «Модули пучков ранга 2 на трехмерных многообразиях Фано» мы описываем наши совместные с А. С. Тихомировым [2] результаты по описанию пространств модулей полустабильных пучков ранга 2 на описанных выше многообразиях Фано Х^ и даем оценки на третий класс Черна таких пучков. Эти результаты и их доказательства подробно описаны в разделе

Пространства модулей полустабильных пучков

Пространства модулей когерентных пучков были впервые построены Мам-фордом [47] для случая векторных расслоений над кривыми при помощи понятия ^-стабильности. Это понятие может быть определено и для пучков над многообразиями большей размерности. Пусть Х — гладкое п-мерное

проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем k характеристики 0, с очень обильным линейным расслоением Ox(1), соответствующим дивизору H.

Определение 0.0.1. Наклон когерентного пучка Е на X определяется формулой р(Е) = V.¿ffl, г«?е c\(E) обозначает первый класс Черна пучка Е, a rk(E) — ран г Е. Здесь результатом деления на 0 полагается

Определение 0.0.2. Пучок Е называется ^-стабильным (соответственно, ^-полустабильным), еаш для всех собственных подпучков 0 = F с Е выполняется неравенство F) < ^(Е/F) (соответственно, F) < КЕ/F)).

Пространства модулей пучков над многообразиями большей размерности были построены Гпзекером [25] и Маруямой [45. 46] с использованием другого понятия стабильности. В тех же обозначениях, что и выше, обозначим через Е(т) когерентный пучок Е ®ox Ox (т).

Е

лой P(Е,т) = х(Е(т)), где х(Е(т)) — эйлерова характеристика пучка Е(т).

Пусть f,g € М[т] — ненулевые многочлены. Если deg(f) > deg(g), положим f < g. Если же deg(f) = deg(g), и a,b — старшие коэффициенты многочленов f и g, соответственно, положим f < (<)g, если < (<) для всех т ^

Е

по Гизекеру, или просто (полу)стабильным, если для любого собственного подпучка 0 = F с Е выполняется P(F, т) < (<)P(Е/F, т).

Позднее мы будем использовать другое понятие стабильности пучков, промежуточное между ^-стабильностью и стабильностью по Гизекеру. Пусть теперь dimX = 3. Для когерентного пучка Е па X определим числа а^(Е) для i € {0,1, 2, 3} из формулы P(Е, т) = а3(Е)т3 + а2(Е)т2 + а\(Е)т + а0(Е). Положим P2^, т) = а3(Е)т2 + а2(Е)т + а\(Е).

Е

керу, если для любого собственного подпучка 0 = F с Е выполняется P2(F,т) < «^(Е/^т).

Свойства стабильности, 2-стабильности и «-стабильности пучка связаны следующими импликациями:

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Геометрия пространств модулей когерентных стабильных пучков на рациональных многообразиях Фано основной серии»»

(«-стабильность => 2-стабильность => стабильность

«-полуст^ильность < 2-полустабильность < полустабильность

Для определения пространств модулей напомним следующие понятия.

Определение 0.0.6. Пусть E — полустабильный пучок. Фильтрация Жордана Гёльдера пучка E — это фильтрация

0 = Eo с Ei С ... С E„ = E,

такая, что факторы gr¿(E) = E1/Ei-1 стабильны и для всех i P(gr¿(E), m) = c¿P(E,m),c¿ € R.

Предложение 0.0.1 ([31, Proposition 1.5.2]). Фильтрации Жордана Гёльдера всегда существуют. Присоединённый градуированный объект gr(E) = ®jgr¿(E) не зависит от выбора фтльтрации Жордана Гёльдера.

Ei E2

гочленами Гильберта называются S-эквивалентными, если gr(E1) = gr(E2).

Напомним следующие теоретико-категорные понятия. Для категории C обозначим через Co противоположную категорию, а через C' — категорию функторов Co ^ Sets, морфизмы в которой — это в точности естественные преобразования. Существует функтор Нонеды, сопоставляющий объекту X € C функтop X : Y ^ More (Y, X). Функтор Ионеды вкладывает C C'

Определение 0.0.8. Функтор F € Ob C' копредставлен обье к том F € Ob C, если существует C'-морфизм а : F ^ Fj такой, что любой морфизм а' : F ^ F' пропускается через единственный морфизм в : F ^ F'• И функтор F представлен обье к том F, если а : F ^ F _ изоморфизм.

F F F

FF

изоморфизма. Приведённые выше определения можно переформулировать, сказав, что F представляет F, если More(X, F) = More/ (X, F) для всех

X G Ob C, и F копредставляет F, если More (F,X) = More (F, X) для всех X G Ob C.

Перейдем к определению наших функторов модулей. Для фиксированного многочлена P G Q[z] определим функтор M' : Sch/k ^ Sets следующим образом. Для k-схемы S определим M'(S) как множество классов изо-

SX Гпльберта P. Действие функтора M' та морфизм f : S' ^ S определяется как обратный образ семейства относительно морфизма f х idX.

Если E G M'(S) — S-плоское семейство полустабильных пучков, и L — линейное расслоение на S, то E <g> p* L (здесь p : X х S ^ S — канониче-

S

sGS

смотрение факторфунктора M = M'/ где ~ есть следующее отношение эквивалентности:

E ~ E' для E, E' G M'(S) если и только если E = E'®p* L для некоторого

L G Pic S.

Схема M называется пространством модулей полустабильных пучков,

M

Теорема 0.0.1 (f , Theorem 4.3.4]). Существует проективная схема MOx(i)(P)? копредставляющая функтор M. Замкнутые точки MOx(1)(P) находятся S P

P

X с обильной образующей OX (1) его группы Пикара имеют ранг r и классы Черна c1, c2, c3, мы будем обозначать Mox(i)(P) через MX(r; c1, c2, c3). Если r = 2, то символ r будет иногда опускаться. Также мы будем обозначать через BX(ci, c2) открытое подмножество схемы MX(2; c1,c2,0), соответствующее стабильным локально свободным пучкам. Также, если X = P3, X

В этом резюме под общей точкой неприводимой схемы мы понимаем замкнутую точку, принадлежащую некоторому плотному открытому по За-рисскому подмножеству этой схемы. Иногда мы не будем делать различия между стабильным пучком E и его классом изоморфизма [E] как точкой схемы модулей.

Для когерентного пучка Р на Х и неотрицательного целого числа п мы будем иногда обозначать пучок Рчерез пР. Мы обозначаем группы когомологий Нг (Х, Р) через Нг(Р).

Построение стабильных расслоений ранга 2 на P3 посредством симплектических расслоений ранга 4

При описании пространств модулей B(e, n) мы можем предполагать, после подкрутки на линейное расслоение, что e G {0, — 1}. При e = 0 эти пространства модулей не пусты, если n > 1, а пр и e = — 1, есл и n > 2 чётно [26].

К настоящему времени известно [ , ], что схема B(0, n) содержит неприводимую компоненту /„ ожидаемой (по теории деформаций) размерности 8n — 3, и эта компонента является замыканием своего гладкого открытого подмножества, состоящего из так называемых математических ин-стантонных векторных расслоений. Для случая e = —1 в [26, Exercise 4.3.2] Хартсхорн построил первую бесконечную серию {B0( — 1, 2m)}m>i неприводимых компонент Bo( — 1, 2m) С B( —1, 2m), имеющих ожидаемую размерность 16m — 5.

Другая бесконечная серия семейств стабильных расслоений ранга 2 на P3, зависящих от троек целых чисел a, b, c, была описана Pao в 1984 году [ ], а в 1988 году Эйн [21] независимо описал эти семейства и доказал, что они образуют открытые подмножества неприводимых компонент пространств B(e, n).

Определение 0.0.9. Монада [16J это комплекс

0aA AB AC A0

ac сюрьективно. В этом случае когомологический пучок E = kfmf локально свободен.

Напомним, что сштлектическая структура на векторном расслоении E — это антиавтодуальный изоморфизм в : E A EV,0V = —в, рассматриваемый с точностью до пропорциональности.

Определение 0.0.10. Симплектическое векторное расслоение Е на Р3 называется силтлектическим инстантоном [9], если

Ь0(Е(-1)) = Ь1(Е(-2)) = Ь2(Е(-2)) = Н3(Е (-3)) = 0, С2(Е) = п > 1.

Число с2 (Е) называется зарядом инстантона Е. Спектральная последовательность Бейлиисоиа покалывает, что симплектические иистаитоиы ранга 2т и заряда п — это в точности когомологические пучки антиавтодуальных монад вида

0 ^ пОРз (-1) ^ (2п + 2т)Сгз ^ пОРз (1) ^ 0.

В 2017 году Ч. Алмсйда, М. Жардим, А. С. Тихомиров и С. А. Тихомиров [ ] построили новую бесконечную серию неприводимых компонент Уа пространств В(0,1 + а2) для а € {2} и Z>4. Эти компоненты имеют размерности ё1шУа = 4(а+3) - а - 1, которые при а > 4 больше ожидаемых. Общие пучки из этих компонент могут быть описаны как когомологические пучки монад, в которых средний член является симплектическим инстантоном ранга 4 и с С2 = 1, а левый и правый члены — пучками Орз (-а)и Орз (а), соответственно.

В совместной статье с А. С. Тихомировым и С. А. Тихомировым [7] мы построили две новые бесконечные серии неприводимых компонент М(е,п) пространств В(е,п), одну для е = 0 и одну для е = -1, которые обобщают упомянутую выше конструкцию из [ ]. А именно, для е = 0 мы построили бесконечную серию ^о неприводимых компонент М(0,п) С В(0,п), такую, что общее расслоение из М(0, п) может быть описано как когомологический пучок монады вида

0 ^Сгз (-а) ^ Е ^Сгз (а) ^ 0, (1)

в которой Е есть теперь спмплектическнй пнетантон с произвольным вто-а

Для доказательства того, что когомологические расслоения монад вида (1) образуют плотное открытое подмножество неприводимой компоненты В(0, п), мы рассматриваем прямую сумму Е = £\ ф£2 двух математических ипстаптопов с зарядами с2(£\) = т > 1 и с2(£2) = т + е, где е € {0,1}.

Мы доказываем зануление определённых групп когомологий, связанных с общими такими расслоениями. Расслоение E — симплектический инстан-тон ранга 4. Это расслоение и его деформации используются как средние члены монад вида ( ). Мы строим универсальное семейство Y расслоений E, являющихся когомологическими расслоениями таких монад, и доказываем, что отображение Кодаиры Спенсера из касательного пространства к Y в заданной точке xo в пространство Extx(E, E) является изоморфизмом. Поскольку Y гладко в ж0, это влечёт, что образ Y в B(0,n) действительно является открытым множеством. Здесь n = 2m + е + а2.

Формула Хирцебруха Римана Роха позволяет найти размерность пространства симплектпческих инстаптопов E, которая равна H1 (S2E) по теории деформаций, и размерность H0(Е(а)) = х(Е(а)). Мы получаем, что размерность M(0, n) равна 4(°+3) + (2m + е)(10 — а) — 11.

Мы доказали (теорема ), что серия S0 содержит компонепты M(0, n) для всех n ^ 0 (более точно, то крайней мере для всех n > 146). Серия So является первой после пнетантонной j/n}n>1 серией с таким свойством (для серии Эйна вопрос о том, содержит ли она компоненты для всех достаточно больших значений второго класса Черна, является открытым).

В случае e = — 1 мы, аналогичным образом, построили серию S1 неприводимых компонент M( — 1,n) пространств B( —1,n), где n четно, таким образом, что общее расслоение из M( — 1,n) является когомологическим расслоением монады, аналогичной приведённой выше, в которой средний член является так называемым скрученным снмплектнческнм инстантон-

—2

четиым вторым классом Черна, тогда как левый и правый члены это теперь Орз (—а — 1) и Орз (а), соответственно, с достаточно большим а. В качестве тестового скрученного симплектического инстантонного расслоения ранга 4 мы рассматриваем прямую сумму E1 ф £2, где E1 G B0( —1, 2m), E2 G B0( —1, 2(m + е)), е G {0,1} Мы имеем n = 4m + 2е + а(а + 1). Размерность получающейся компоненты равна 4(°+3) + 2(°+3) — (2m + е)(2а — 19) — 17.

Мы доказали (теорема 1.3.1), что S1 содержит компоненты M( — 1,n)

n

N есть множеств о тех n, для которых существует ко мпонента M( —1,n) G Sb то

lim |Nn{2,4,...,2r}| = 1.

r

Также в разделе мы нашли все значения n < 20, для которых существует компонента M(0, n). Мы нашли их размерности и спектры общих расслоений из этих компонент. И мы сделали то же для всех компонент M(-1,n) с n < 40.

Бесконечная серия рациональных компонент модулей пучков ранга 3 на P3

Напомним, что пучок F называется рефлексивным, если естественное отображение F 4 Fvv является изоморфизмом. Рефлексивные пучки в различных отношениях более просты для изучения, чем общие когерентные пучки, например, рефлексивный пучок F ранга 2 на Pn с c1(F) € {-1, 0} стабилен тогда и только тогда, когда H0 (F) = 0 [ , Chapter 2, Lemma 1.2.5].

В работе [34, Section 2.2] М. Жардим, Д. Маркушевич и А. С. Тихомиров рассматривали морфизмы

aOP3 (-3) © bOP3 (-2) ® cOP3 (-1) 4 (а + b + c + 2)OP3,

особое множество которых

Д(а) = {х € P3 | а(х) те инъективно}

является нульмерным. В такой ситуации coker(a) является стабильным рефлексивным пучков ранга 2. Если 3a + 2b + c = 2k четно и положительно, то, обозначая нормализованный пучок coker(a)(-k) через E, мы получаем точную последовательность

0 4 aOP3 (-3-k)®bOP3 (-2-k)®cOP3 (-1-k) -4 (a+b+c+2)OP3 (-k) 4 E 4 0,

(И)

где ci(E) = 0. Жардим, Маркушевич и Тихомиров показали [ , Theorem 8], E

гладкое плотное открытое подмножество S(a, b, c) неприводимой компоненты пространства модулей стабильных рефлексивных пучков ранга 2 на P3.

S(a, b, c)

В статье [1] мы предлагаем аналог приведенной выше конструкции для пучков ранга 3, рассматривая морфизмы

bOP3(-2) © cOP3(-1) -4 (b + c + 3)OP3, (iii)

особое множество которых Д(а) = {x G P3 | а(х) те инъективно} пусто или нульмерно. Здесь coker(a) оказывается рефлексивным пучком ранга 3.

Рассмотрим действие пр3 группы Gm на P3 = P(V), задаваемое в координатах как

Прз : Gm х P3 4 P3, (t, (xo : xi : : X3)) 4 (xo : txi : tx2 : tx3).

Заметим, что неподвижные точки для этого действия — это ao := (1 : 0 : 0 : 0) и точки плоскости H := {xo = 0}.

Действие прз группы Gm на P3 индуцирует действие Gm на множестве когерентных пучков па P3, задаваемое та замкнутых точках как E 4 t*E, где для t G Gm(k) мы обозначаем той же буквой действие t на P3.

Стабильность пучка coker а из ( ) не очевидна. Существует сравнительно простой критерий ^-стабильности рефлексивных пучков ранга 3:

Критерий ^-стабильности ([ , Remark 1.2.6]). Рефлексивный пучок E ранг а 3 мо Pn с c1(E) = 0, соответстве нно, c1(E) = -1, —2, является ^-стабильным тогда и только тогда, когда H0(Pn,E) = H0(Pn,Ev) = 0, соответственно, H0(Pn,E) = H0(Pn, Ev( —1)) = 0.

Пусть b, c > 0 k > 1, c1 G {0, —1, —2} и 26 + c = 3k + c1. Рассмотрим E P3 ci

тройку

0 4 bOP3 (—k — 2) © cOP3 (—k — 1) 4 (b + c + 3)OP3 (—k) 4 E 4 0; (iv)

Д(а)

а

Мы доказали следующий вспомогательный результат:

Теорема 0.0.2 (Теорема ). Для всех 6 и c, кроме (b, c) = (0,1), существует Gm-инвариантный стабильный по Гизекеру рефлексивный пучок E ранга 3, включающийся в точную тройку вида (iv), ограничение которого H

Для всех случаев, кроме (b, c) = (0, 3) и (b, c) = (3,0) доказательство ведется путем предъявления явного а : bOp3 (—k — 2) © cOp3 (—k — 1) 4 (b + c + 3)OP3 (— k) и доказательства тог о, что E = coker а ^-стабилен при помощи критерия ^-стабильности, приведенного выше. В оставшихся двух случаях мы адаптируем рассуждения из [59], чтобы показать, что для общего отображения а как выше пучок E = coker а стабилен по Гизекеру.

Можно показать, что отображение Hom(bOP3 (-2 - k) © cOP3 (-1 - k), (b + c + 3)OP2 (-k)) 4 Ext1(E, E), индуцированное точной тройкой ( ), сюръ-ектнвно. Также Ext2 (E,E) = 0. Это влечет следующее утверждение:

Предложение 0.0.2 (Утверждение 2.3.1). Пространство .модулей ста-

E

тым подмножеством S3(b,c) неприводимой компоненты пространства модулей стабильных по Гизекеру рефлексивных пучков ранга 3 на P3.

Размерность компоненты S3(b, c), содержащей точку [E], равняется 12c2(E)-

8, тел и ci(E) = 0; соответственно, 12c2(E) - 12, тел и ci(E) = -1; или

12c2(E) - 24, тел и c1(E) = -2.

Как и выше, b,c > 0 k > 1, c1 € {0, -1, -2} и 2b + c = 3k + ci. Пусть E —

P2

точную тройку вида

0 4 bOP2(-2 - k) © cOP2(-1 - k) 4 (b + c + 3)OP2(-k) 4 E 4 0.

Наше доказательство теоремы 2.2.1 показывает также, что общий такой

пучок стабилен по Гизекеру. Рассуждения, сходные со случаем пучков на

P3 показывают, что пространство модулей стабильных пучков E является

плотным открытым подмножеством неприводимой компоненты простран-

P2

классом Черна c^; обозначим это подмножество через У.

Обозначим через MP2 (k, n) многообразие модулей стабильных векторных расслоений V ранга k на P2 с классами Черна c1(V) = 0 и c2(V) = n. Мы используем следующий результат [4, Следствие 0.3.а]:

Предложение 0.0.3. Если (k,n) = 1, 2, 3,4, то MP2 (k,n) рационально.

В пашем случае k = 3 и (k, n) € {1, 3} так что многообразие MP2 (3, n) рационально для любого n. Таким образом, У ^^^^^^ально при c1 (E) = 0, то есть при 3 | (2b + c).

Теорема 0.0.3 (Теорема ). Многообразие S3(b, c) рационально при 3 | (2b + c).

Приведем основные шаги доказательства. Для простоты обозначений положим S := S3(b, c). Обозначим через S0 С S подмногообразие классов

изоморфизма тех пучков из 5, которые не имеют особенностей на Н = {х° = 0}. Через 5°ПУ С 50 обозначим подмногообразие классов изоморфизма <Ст-инвариантпых пучков из 5

Лемма 0.0.1 (Лемма ). Многообразие 5°т рационально при 3 | (26+с).

Эта лемма доказывается путем построения взаимно обратных морфиз-мов между плотными открытыми подмножествами многообразий 5°ПУ и У. Точное определение этих морфизмов использует конструкцию пространств модулей стабильных пучков при помощи схем С^ио!.

Доказательство рациональности 53(6, с^и 3 | (26 + с) завершается рассмотрением проективного замыкания 5 С 5, эквивариантного разрешения особенностей П : 5нт 4 5 с действием п?вт группы и использованием леммы , так как для точек х из плотного открытого подмножества многообразия 5нт соответствующие точки (х) принадлежат многообразию, изоморфному плотному открытому подмножеству многообразия 5°пу, которое рационально.

Кроме того, при помощи того же метода в разделе 2.4 мы доказываем рациональность компонент 5(0, 6, с) пространства модулей пучков ранга 2 на Р3.

Модули пучков ранга 2 на трехмерных многообразиях Фано

В этом разделе мы предполагаем, что основное поле есть поле комплексных чисел.

В 1980 году Р. Хартсхорн, исследуя в [27] спектры стабильных рефлек-

Р3

с3

Черна С1 и с^. Точные оценки, полученные им для класса сз имеют следующий вид (см. [27, ТЬш. 8.2])

с3 < с2 — с2 + 2, если с! =0; с3 < с2 если с! = -1. (у)

В той же работе доказаны неприводимость, гладкость и рациональность

пространств модулей таких пучков с с! = — 1, произвольным с2 > 0 и мак-2

с3 = с22

В 2018 году Б. Шмидт в [53]. исследуя свойства тилт-стабильности в ограниченной производной категории когерентных пучков БЬ(Р3), доказал, что оценки (у) верны для всех полу стабильных когерентных пучков ранга два на Р3, и дал явное описание их пространств модулей для —1 < с\ < 0, с2 > 0 и максимального с3. Как следствие, он получил, что эти пространства являются неприводимыми гладкими рациональными проективными многообразиями, кроме одного случая, который изучался ранее в [59]. Нетрудно видеть, что пространства модулей рефлексивных пучков, описанные Харт-схорном, являются открытыми подмножествами этих многообразий. Заметим также, что в недавней работе 2023 года [55], Шмидт обобщил упомяну-

Р3

В совместной работе с А. С. Тихомировым [2] мы изучали пространства модулей полустабильных пучков ранга два на рациональных трехмерных многообразиях Фано основной серии. Существуют четыре таких многообразия — это проективное пространство Х1 = Р3, трехмерная квадрика полное иересечение Х4 двух квадрик в Р5 и сечение Х5 грассманиана Сг(2, 5), вложенного то Плюккеру в пространство Р9, линейным подпространством Р6. Здесь индекс г в обозначении Хъ обозначает проективную степень многообразия Хъ.

Первое направление исследований в нашей статье [2] касается вопроса ограниченности третьего класса Черна с3 полустабильных пучков ранга 2 на X = Хъ с фнкспрованными е\ € { — 1,0} и С2 > 0 и получении оценок на третий класс Черна 03. При помощи техники тилт-стабильности в производной категории БЬ(Х), мы даем почти полный ответ на этот вопрос

Х2

в теореме 3.2.1).

Теорема 0.0.4. (г) Пусть Е полустабильный пучок ранга 2 на квадрике Х2 с с1 = —1.Тогда с2 > 0 и с3 < 1если с2 четно, и, соответственно, с3 < 1 (с2 — 1), есл и с2 нечетно.

Е Х2 с1 (Е) = 0

с2 > 0 и с3 < 2с2,, если с2 четно, и, соответственно, с3 < 1 (с2 + 1), если с2

с3 > 0

Доказательство этой теоремы основывается на изучении связи между тилт-полустабильностью и полустабильностью по Бриджленду в БЬ(Х2).

Ключевым здесь является важный технический результат Шмидта (2014) по описанию подкатегории в Db(X2), порожденной парой кручения, который мы приводим в предложении 3.1.4 (i).

К сожалению, к настоящему времени не получены аналоги этого результата для многообразий X4 и X5. Поэтому для этих многообразий невозможно использовать тот же метод для получения точных верхних оценок на класс c3 для всех полустабильных пучков ранга 2 на X4 и X5. Однако, используя более традиционный метод рассмотрения поведения стабильных пучков при стандартных бирациональных преобразованиях X4 Xi и X5 --+ X2, мы даем частичный ответ на вопрос об ограничеппости С3 для достаточно широкого класса пучков па X4 и X5.

Для X = X4 или X5 обозначим через B(X) базу семейства прямых на X. Как известно, B(X4) является гладкой абелевой поверхностью, a B(X5) ~ P2. Дадим следующее определение.

Определение 0.0.11. Рефлексивный пучок E ранга 2 с первым классом Черна c1(E) = 0 на X = X4 или X = X5 называется пучком общего типа, если для любой прямой l G B(X), не проходящей через точки из Sing E, мы имеем либо E= O®i2, и такие прямые образуют плотное открытое подмножество B(X), либо E|; = OPi (m) ф OPi (—m), где m > 0, и множество B2(X) := {l G B(X) | E= OPi (m) ф OPi (—m), m > 2} имеет размерность < 0.

В теореме 3.3.7 мы привели примеры бесконечных серий компонент пространств модулей полустабильных пучков, в которых общий пучок является рефлексивным пучком общего типа. (Предположительно, свойство быть пучком общего типа выполняется для всех стабильных рефлексивных пучков ранга 2 с c1 = 0, то есть, возможно, для них имеет место аналог теоремы Грауэрта-Мюлиха, которая верна для стабильных рефлексивных пучков X1

(см. теоремы 3.5.2,3.5.1).

E

щего типа с классами Черна c1 =0 c2 > 0 c3 но многообразии X4 ил и X5. Тогда следующие неравенства верны для класса c3 пучка E. (г) На X4; c3 < c2 - c2 + 2.

(ii) Ha X5; c3 < 9 c2, если c2 четно, и, соответственно, c3 < 2 c2 + если

с2

Неизвестно, являются ли эти оценки наилучшими.

Второе направление исследований в статье [2] это построение новых

с2

бильных пучков ранга 2 на многообразиях Х15 Х2, Х4 и Х5, включающее явное описание общих пучков в этих компонентах. Для Х = Х1 несколько известных серий компонент модулей были упомянуты выше. Для Х2, Х4 Х5

компонент модулей. Это серии компонент, содержащих как открытые множества семейства инстантонных расслоений. Инстантонные расслоения на Х2

Х4 Х5

Фаеици [24] в 2013 году. В работе [24] Д. Фаенци доказал, что семейства

Х2 Х4 Х5

тыс подмножества неприводимых компонент пространств модулей, которые приведены в общей точке и имеют ожидаемую размерность. В последние годы, значительное число работ было посвящено изучению инстантонных серий расслоений, обзор которых можно найти, например, в [10] и [19].

В пашей статье [2] мы построили несколько серий неприводимых рациональных компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга 2

Х1 Х2 Х4 Х5

центах и доказали их рефлексивность, и нашли размерности построенных компонент. Эти результаты доказаны в теоремах 3.3.2.3.3.3.3.3.4.3.3.5.3.3.6.

Упомянем, что общие пучки в этих компонентах описываются как расширения. в которых левый член является либо подкрученным тривиальным

Х2

либо подкрученным пучком Г ранга два, который мы опишем ниже.

(I) В случае Х = Х1 пучок Г — рефлексивный пучок, определяемый из точной тройки

0 4 0Рз ( —1) 4 о®3 4 Г 4 0.

(II) В случае, когда Х = Х4 — полное пересечение общего пучка гиперквадрик в Р5, пусть Р1 С |0Р5 (2)| — база этого пучка квадрик, а Г -гиперэллиптическая кривая рода 2, определенная как двойное накрытие р : Г 4 Р1, разветвленное в точках, соответствующих вырожденным квадрикам из пучка. Пусть Г* = р-1(Р1Ф), где Р1* С Р1 — открытое подмноже-

ство невырожденных квадрик из пучка, и пусть Д = р-1(Р1 \ Р1*). Любая точка у € Г* соответствует одной из двух серий плоскостей па невырожденной четырехмерной квадрике ф(у) := р(у), и эта серия соответствует спинорному расслоению 5(у) ранга 2 на ^(у^ det 5(у) = 0ц(у)(1). В этом случае мы положим Еу = 5(у)|х- Пусть теперь у € Д, то есть, вырожденная квадрика ^(у) является конусом с вершиной в некоторой точке -г(у), так что определена проекция ^ : ф(у) \ |^(у)} 4 Qy, где Qy — гладкая трехмерная квадрика. На Qy определено сппнорное рас слоение SQy с det SQy = OQy (1), и мы положим Еу = ^*SQy |х Пучок Е в этом случае — любой из пучков Еу для у € Г.

(III) В случае X = Х5 пучок Е определяется как ограничение на X тавтологического расслоения на грассманиане Ог(2,5), подкрученное на Ох(1)-

Теорема 0.0.6. Пусть X — одно из многообразии Х1г Х2, Х4, Х5, и пусть Ох(1) — обильный пучок на X, такой, что Р1е(Х) = Z[OX(1)]. Рассмотрим пучок Е на X ранга 2, определенный одним из нетривиальных расширений вида

0 4 Е 4 Е 4 С 4 0, 1 < i < 3, 1 < 3 < 2, (\1)

где Е1 = Ох(—п)®2, Е2 = Е(—п), г<?е Е — пучок ранга 2 одного из типов (1)-(Ш), описанных выше, С1 = О^(ш), г<?е 5 € |Ох(к)|, и пучки Е3 и С2 определены в случае квадрики X = Х2, о именно, Е3 = 5(—п), г<?е 5 — спгг-норное расслоение на Х2 с det 5 = Ох(1), и С2 = ^>1,5(ш), г<?е 5 € |Ох(1)|, Р1 — прямая на поверхности Б. Пусть Мх («) схема модулей Гизекера Маруямы полустабильных пучков на X с характером Черна V = еИ(Е), определяемым из тройки и пусть

М := {[Е] € Мх(V) | Е — стабильное по Гизекеру расширение ( )}. (уи)

Тогда верны следующие утверждения.

(1) Для Х1, Х2, Х4, Х5 в случае i = 3 = 1, к > 1, п = [|% ш < — п,

(2) для Х1, Х4, Х5 в случае i = 2 3 = 1 к > 1, п = [|ш < —п, для Х2 в каждом из случаев

(3.1) i = 1 3 = 2 п =1 ш < —1,

i = 3 3 = 1 к > 1 п = [|] +1 ш < —п, (3.3) i = 3 3 = 2, п =1 ш < —1, М

неприводимой компоненты M схемы модулей MX (v). Более то го, M является тонким. пространством модулей, и рефлексивные пучки образуют плотное открытое подмножество в M. Более того, все компоненты M ■из бесконечных серий (1), (2) и (S.l)-(S.S) являются рациональнылш многообразиями для каждого из многообразий Xi, l = 1,2,4, 5, кроме серии (2) для X = X4, в которой каждая компонента не рациональна. Более того, во всех случаях найдены размерности компонент M, являющиеся многочленами из Q[k, m,n] или Q[m] соответственно.

Значительная часть нашей статьи [2] посвящена исследованию полустабильных пучков ранга 2 с максимальным классом сз та квадрике X2. Мы показываем, что для ci G {-1,0} и всех значений класса с2, кроме нескольких малых значений, любой такой пучок задается расширением вида (vi), то есть, в обозначениях ( ), мы имеем равенство M = M. В этом случае конструкция из доказательства теоремы 0.0.6 может быть значительно улучшена, давая полное описание пространств модулей полустабильных пучков с максимальным сз на X2. В оставшихся случаях малых значений С2 и максимального сз > 0 также было получено явное описание пространств модулей, кроме двух случаем, в которых мы доказали только то, что эти пространства не являются гладкими. В случае (с1, с2) = (0,1) мы доказали,

сз

телыго, но не определили его точно. Эти результаты, доказанные в теоремах 3.4.1 3.4.4, собраны в следующих двух теоремах.

Теорема 0.0.7. Пусть X = X2 — квадрика, и MX(v) схема модулей Гизекера-Маруямы полустабильных пучков E ранга 2 на X с классами Черна (с1,с2,с3)^де c1 G { — 1,0} с2 > 0 с3 = c3max > 0 максимально с2

1 12 V = ch(E) = (2, CiH, 2(ci - C2)H2, 2 (c3max + 3 c3 - CiC^t]),

где H = c1(OX(1)). Тогда имеют место следующие утверждения, (l.i) Для с1 = — 1 четно го с2 = 2p, p > 2, и c3max = 2 с2 многообразие MX(v) является грассманизацией двумерных факторпространств векторного расслоения ранга ^(с2 +2)2 ^о пространсmee P4, определенного первой формулой (38) в [ ] для n = 1 и m = — p. В этом случае dim MX(v) = 2 (C2 + 2)2.

(l.ii) Для ci = — 1, нечетно го c2 = 2p +1, p > 1, и c3max = 2 (c¡ — 1) многообразие MX (v) является грассманизацией двумерных фактор-пространств векторного расслоения ранга 4(c2 + 1)(c2 + 3) но грассманиоме G = Gr(2,4), определенного второй формулой (38) в [ ] для m = —p. В этом случае dim mx (v) = 2 (c2 + 1)(c2 + 3).

(l.iii) Для ci = 0, нечетного c2 = 2p +1 p > 1 и c3max = i (c2 + 1) многообразие MX(v) является проективизацией векторного расслоения ранга 2(c2 + 1)(c2 + 3) но пространсmee P4, определенного формулой (61) в [ ] для n = 1 tí m = — p. В этом случае dimMX(v) = 2c2 + 2c2 + |. (l.iv) Для ci = 0, четно го c2 = 2p, p > 3 и c3max = 2 c2 многообразие MX (v) является проективизацией векторного расслоения ранга 2c2 + 2c2 + 1 но грассманиане G, определенного формулой (11) в [ ] для m =1 — p. i? этом случае dim MX (v) = 2c2 + 2c2 + 4.

(2) Во всех указанных случаях схема MX (v) неприводим,а и является гладким рациональным проективным многообразием, все пучки из MX(v) стабильны, общий пучок в MX(v) рефлексивен, и MX(v) является тонким пространством .модулей.

Теорема 0.0.8. В условиях и обозначениях теоремы 0.0.1, верны следующие утверждения:

(1) Для c2 = — 1, c2 = 1 и c3max = 0, многообразие MX (v) является точкой

[S ( —1)].

(2) Для c2 = c2 = c3max = 0, многообразие MX(v) является точкой [O^2].

(3) Для c2 = — 1, c2 = 2 и c3max = 2 мы имеем, MX(v) ~ Gr(2, 5).

(VJ Длл c2 =0 c2 = 2 и c3max = 2 схем,a MX (v) неприводим,а, имеет размерность 9 и не является гладкой.

(5) Для c2 = 0 c2 = 4 и c3max = 8 схема MX (v) = MX(2; 0, 4, 8) является объединением двух неприводимых компонент M2 и M2. Эти компоненты описываются следующим, образом.

(5. i) M2 — гладкое рациональное многообразие размерности 20, являющееся проективизацией локально свободного пучка ранга 11 на грассманиане G. M2 — тонкое пространство модулей и все пучки в MX(v)2 стабильны. Более того, схема MX (v) неособа в точках M2.

(5.U) схема M2 неприводим,а, имеет размерность 21, и полистабильные пучки в M2 образуют замкнутое подмножество размерности 12, в котором схема MX (v) не является гладкой.

Мы выделим последнее утверждение (iii) в теореме 3.4.4 как отдельную теорему ввиду его важности.

Теорема 0.0.9. Для квадрики X = X2 схем a MX (2;0,4,8) не связна:

MX (2; 0,4, 8) = Mi U M2,

и ее неприводимые компоненты Mi и M2 описаны выше в утверждениях (5л)-(5.п) теоремы, 0.0.8.

Этот результат дает первый пример несвязной схемы модулей полустабильных пучков ранга два на гладком проективном трехмерном многообразии. В тех немногих известных к настоящему времени случаях, в которых обсуждался вопрос связности схемы модулей MX(2; ci,c2,c3) с фиксированными ci,c2,c3, объединение всех известных компонент схемы модулей оказывалось связным. В частности, в работе [34. Thru. 25. Thru. 27] была доказана связность схемы MP3 (2; 0, 2,0), а также связность объединения семи известных к 2017 году неприводимых компонент схемы Mp3 (2; 0, 3,0), и в том же месте [ , Prop. 24] для произвольного положительного n была доказана связность объединения некоторого растущего с числом n числа компонент схемы MP3 (2;0, n, 0). В работе [ , Main Thm. 3] была доказана связность Mp3 (2; — 1, 2, m) для всех допустимых положительных значений m, а именно, для m = 0, 2, 4. По нашему мнению, одной из возможных причин несвязности схемы Mx2 (2, 0, 4, 8) в теореме может быть то,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Васильев Данил Анатольевич, 2024 год

Список литературы

[1] Д. А. Васильев. Бесконечная серия рациональных компонент пространства модулей пучков ранга 3 на пространстве РЗ. Сиб. матем. журн., 64:3 (2023), 465-485.

[2] Д. А. Васильев, А. С. Тихомиров. Модули полустабильных пучков ранга 2 на рациональных трехмерных многообразиях Фано основной серии. Матем. сб., 215:10 (2024), 3-57.

[3] В. А. Псковских. Трехмерные многообразия Фано. I. Известия АН СССР. Сер. матем., т. 41, вып. 3 (1977), 516-562.

[4] Кацыло П. И. Бирациональная геометрия многообразий модулей векторных расслоений над Р2. Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:2 (1991), 429-438.

[5] Манин Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. Часть II. К-функтор в алгебраической геометрии. Издательство Московского университета, 1971.

[6] Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.

[7] А. С. Тихомиров, С. А. Тихомиров, Д. А. Васильев. Построение стабильных расслоений ранга 2 на РЗ посредством симплектических расслоений. Сиб. матем. журн., 60:2 (2019), 441-460.

[8] С. Almeida, М. Jardim, A. S. Tikhomirov. Irreducible components of the moduli space of rank 2 sheaves of odd determinant on projective space. Advances in Mathematics. 402 (2022). Article 108363.

[9] C. Almeida, M. Jardim, A. S. Tikhomirov, S. A. Tikhomirov. New moduli components of rank 2 bundles on projective space. Sbornik Mathematics. 2021. Vol. 212. No. 11. P. 1503-1552.

[10] V. Antonelli, G. Casnati, O. Gene. Even and odd instanton bundles on Fano threefolds. Asian J. Math. 26, No. 1, (2022), P. 081-118.

[11] M. F. Atiyah, S. T. Ward. Instantons and algebraic geometry. Comm. Math. Phys, 1977, 55(2), P. 117-124.

[12] A. Bialynicki-Birula. Some theorems on actions of algebraic groups. Ann. Math. 1973. V. 98, N 3. P. 480-497.

[13] J. Brun, A. Hirschowitz, Variété des droites sauteuses du fibré instanton général, With an appendix by J. Bingener. Compositio Math. 53 (1984), P. 325-336.

[14] E. Ballico, J. A. Wisniewski. On Bänicä sheaves and Fano manifolds. Compositio mathematica. t. 102, no. 3 (1996), 313-335.

[15] C. Banica, M. Putinar, G. Schumacher. Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer Räume. Math. Ann., 250 (1980), 135-155.

[16] W. Barth, K. Hulek. Monads and moduli of vector bundles. Manuscripta Math. 25, P. 323-347 (1978).

[17] A. Bayer, E. Macri, Y. Toda. Bridgeland Stability conditions on threefolds I: Bogomolov-Gieseker type inequalities. J. Algebraic Geom. 23 (2014), 117-163.

[18] T. Bridgeland. Stability conditions on K3 surfaces. Duke Math. J., 141(2) (2008), 241-291.

[19] G. Comaschi, M. Jardim, C. Martinez, D. Mu. Instanton sheaves: the next frontier. Säo Paulo J. Math. Sei. (2023).

[20] L. Costa, R. M. Mirö-Roig. Monads and instanton bundles on smooth hyperquadrics. Mathematische Nachrichten, 282(2) (2009), P. 169-179.

[21] L. Ein. Generalized null correlation bundles. Nagoya Math. J.. 1988. V. 111. P. 13-24.

[22] Ellingsrud G., Stromme S. A. On the rationality of the moduli space for stable rank-2 vector bundles on P2. Singularities, Representation of Algebras, and Vector Bundles, Springer Berlin, Heidelberg, 1987, 363-371.

[23] G. Ellingsrud and S.A. Str0mme. Stable rank 2 vector bundles on P3 with ci = 0 and c2 = 3. Math. Ann. 255(1) (1981), 123-135.

[24] D. Faenzi. Even and odd instanton bundles on Fano threefolds of Picard number one. manuscripta math. 144 (2014), P. 199-239.

[25] D. Gieseker. On the moduli of vector bundles on an algebraic surface. Ann. Math. 106 (1977), P. 45-60.

[26] R. Hartshorne. Stable vector bundles of rank 2 on P3. Math. Ann. 1978. V. 238, N 3. P. 229-280.

[27] R. Hartshorne. Stable reflexive sheaves. Math. Ann. 254 (1980), P. 121176.

[28] Hartshorne R., and Rao A. P. Spectra and monads of stable bundles. J. Math. Kyoto Univ. 31:3 (1991), 789-806.

[29] Hirschowitz A. Rank techniques and jump stratifications. Vector bundles on algebraic varieties. Proc. Bombay 1984. Oxford: University Press 1987, 159-205.

[30] G. Horrocks. Construction of bundles in Pn. In: Les équations de Yang-Mills. A. Douady - J.L. Verdier séminaire E.N.S, Astérisque, vol. 71-72, 1977-1978, pp. 197-203.

[31] D. Huybrechts, M. Lehn. The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves. 2nd ed., Cambridge Math. Lib., Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

[32] Hulek K. Stable Rank-2 Vector Bundles on P2 wit h ci Odd. Mathematische Annalen, 242 (1979), 241-266.

[33] V. A. Iskovskikh and Yu. G. Prokhorov. Fano varieties. Algebraic geometry. V., volume 47 of Encyclopaedia Math. Sci. Springer, Berlin, 1999.

[34] M. Jardim, D. Markushevich, A. S. Tikhomirov. Two infinite series of moduli spaces of rank 2 sheaves on P3. Ann. Mat. Pura Appl., 2017. V. 196. P. 1573-1608.

[35] Jardim M., Markushevich D., and Tikhomirov A. S. New divisors in the boundary of the instanton moduli space. Moscow Math. J., 18:1 (2018), 117-148.

[36] Jardim M., and Verbitsky M. Trihyperkahler reduction and instanton

P3

[37] Kollar J. Lectures on resolution of singularities. Annals of Mathematics Studies, Princeton, NJ: Princeton University Press, 166, 2007.

[38] Kraft H. Regularization of Rational Group Actions. arXiv: 1808.08729 [math.AG], (2018), 10 p.

[39] A. Kuznetsov. Instanton bundles on Fano threefolds. Cent. Eur. J. Math., 10(4) (2012), P. 1198-1231.

[40] A. A. Kytmanov, A. S. Tikhomirov, S. A. Tikhomirov. Series of rational moduli components of stable rank two vector bundles on P3. Selecta Mathematica, New Series. Vol. 25 (2019), 1-47.

[41] H. Lange. Universal families of extensions. J. Algebra, 83(1) (1983), 101112.

[42] Le Potier J. Sur Г espace de modules des fibres de Yang et Mills. Séminaire E.N.S. (1980-1981), Partie 1, Exp. no. 3. Progress in Math., Birkhâuser 37 (1983), p. 65-137.

[43] Emanuele Macrï, Benjamin Schmidt. Derived categories and the genus of space curves. Algebraic Geometry 7(2) (2020), 153-191.

[44] Maeda T. An elementary proof of the rationality of the moduli space for rank 2 vector bundles on P2. Hiroshima Math. J., 20 (1990), 103-107.

[45] M. Maruyama. Moduli of stable sheaves I. J. Math. Kyoto Univ. 17 (1977), P. 91-126.

[46] M. Maruyama. Moduli of stable sheaves II. J. Math. Kyoto Univ. 18 (1978), P. 557- 614.

[47] D. Mumford. Projective invariants of projective structures and applications. Proc. Intern. Cong. Math. Stockholm (1962), P 526-530.

[48] Nussler T., and Trautmann G. Multiple Koszul structures on lines and instanton bundles, Internat. J. Math. 5:3 (1994), 373-388.

[49] С. Okonek, C. Schneider, H. Spindler. Vector bundles on complex projective spaces (Corrected reprint of the 1988 Edition). Basel: Birkhâuser, 2011.

[50] Ramanathan A. Stable Principal Bundles on a Compact Riemann Surface. Math. Ann. 213:2 (1975), 129-152.

[51] A. P. Rao. A note on cohomology modules of rank two bundles. J. Algebra. 1984. V. 86, N 1. P. 23-34.

[52] B. Schmidt. A generalized Bogomolov-Gieseker inequality for the smooth quadric threefold. Bull. Lond. Math. Soc. 46, no. 5, (2014), P. 915-923.

[53] B. Schmidt. Rank two sheaves with maximal third Chern character in three-dimensional projective space. Matematica Contemporanea, Vol. 47 (2018), P. 228-270.

[54] B. Schmidt. Bridgeland Stability on Threefolds - Some Wall Crossings. J. Algebraic Geom. 29 (2020), P. 247-283.

[55] B. Schmidt. Sheaves of low rank in three-dimensional projective space. Eur. J. Math. 9:103 (2023), P. 3-71.

[56] I. R. Shafarevich. Book 1, Basic algebraic geometry. 3rd ed., Springer, Heidelberg, 2013.

[57] A. S. Tikhomirov. Moduli of mathematical instanton vector bundles with odd c2 on projective space. Izv. RAN. Ser. Mat., 76:5 (2012), P. 143-224; Izv. Math., 76:5 (2012), P. 991-1073.

[58] A. S. Tikhomirov. Moduli of mathematical instanton vector bundles with even c2 on projective space. Izv. RAN. Ser. Mat., 77:6 (2013), P. 139-168; Izv. Math., 77:6 (2013), P. 1195-1223.

[59] G. Trautmann, R. M. Miro-Roig. The moduli scheme M(0,2,4) over P3. Math. 7... 1994. V. 216, N 2. P. 283-316.

[60] V. K. Vedernikov. Moduli of stable vector bundles of rank 2 on P3 with fixed spectrum. Math. USSR-Izv. 25 (1985), 301-313.

[61] V. K. Vedernikov. The moduli of super-null-correlation bundles on P3. Math. Ann. 276 (1987), 365-383.