Моделирование поведения гетерогенных домашних хозяйств в рамках динамических моделей общего равновесия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ужегов Алексей Александрович

• Ужегов Алексей Александрович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Ужегов Алексей Александрович

Введение

1. Обзор литературы

1.1 Моделирование потребительских расходов

1.2 Математические аспекты задачи домашнего хозяйства

2. Модель агрегированного домашнего хозяйства

2.1 Модификация функции полезности домашнего хозяйства

2.2 Добавление в задачу домашнего хозяйства срочных активов

2.3 Выбор описания временного множества

2.4 Постановка задачи домашнего хозяйства

2.5 Решение задачи домашнего хозяйства

2.6 Переход к дискретному времени

2.7 Подготовка статистических данных для модели

2.8 Оценка параметров модели

2.9 Сопоставление качества прогнозов модели с эконометрическими аналогами

3. Моделирование поведения доходных групп домашних хозяйств

3.1 Задача доходной группы

3.2 Решение задачи доходной группы

3.3 Описание базы данных на основе результатов обследований бюджетов домашних хозяйств

3.4 Результат модели доходных групп

4. Агрегированный потребитель как блок модели общего равновесия

4.1 Описание оптимизационной задачи банка

4.2 Решение задачи банка

4.3 Описание оптимизационной задачи потребителя

4.4 Решение задачи потребителя

4.5 Описание оптимизационной задачи производителя

4.6 Решение задачи производителя

4.7 Равновесие в модели

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование поведения гетерогенных домашних хозяйств в рамках динамических моделей общего равновесия»

ВВЕДЕНИЕ

Описание поведения домашних хозяйств - ключевой элемент современных макроэкономических моделей. Их выбор относительно потребления и труда влияет на уровень выпуска и цен в экономике. Для динамических моделей решение задачи домохозяйства связано с межвременным выбором, позволяющим определить объем сбережений, которые будут использованы на потребление в более поздние периоды. Итоговый выбор домохозяйства зависит от уровня его дисконт-фактора и показателей доходности сбережений, (процентных ставок), а также параметров функции полезности и динамики цен.

Выбор домашнего хозяйства среди нескольких активов (депозитов, облигаций, наличности, валюты) и пассивов (кредитов), поступления или платежи по которым влияют на их выбор в части потребления и труда, сопряжен с учетом их срочности. Часто в моделях эти активы предполагаются абсолютно ликвидными (их погашение в моделях происходит за один период, после чего они полностью обновляются). Реже вводятся транзакционные издержки, ограничивающие ликвидность активов, например недвижимости.

Отдельной задачей является введение срочной структуры активов и пассивов в модель сектора домашних хозяйств. Учет срочности меняет реакцию домашних хозяйств на сложившиеся условия в экономике. Например, при изменении ключевой ставки и, как следствие, ставок по депозитам и кредитам, домашние хозяйства вынуждены учитывать, что не смогут (или не захотят) моментально перестроить структуру своих активов и пассивов, что в свою очередь повлияет на оптимальный выбор домашних хозяйств в отношении потребления и труда.

Кроме того, в условиях современной экономики важен учет домашними хозяйствами операций с недвижимостью и валютой в бюджетном ограничении. Этот вопрос особенно актуален для прикладных моделей в периоды значительных колебаний процентных ставок и доходностей, когда

домохозяйства могут существенно менять структуру своих сбережений и задолженности.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Моделирование потребительских расходов

Моделирование поведения домашних хозяйств и их выбора объемов и динамики потребительских расходов - одна из ключевых тем современной экономической теории, в основе которой лежат модели жизненного цикла и постоянного дохода [Modigliani, Brumberg, 1954; Friedman, 1957]. Принципиальными вопросами, возникающими при изучении потребительского поведения, являются: выбор функциональной формы и оценка параметров функции полезности [Elminejad, Havranek, Irsova, 2022], исследование реакции потребления на изменения дохода [Jappelli, Pistaferri, 2010], математическое описание особенностей принятия решений домашними хозяйствами [Campbell, Cochrane, 1999]. Это направление активно использует модели частного равновесия рынков, на которых действуют домашние хозяйства. Современное состояние области исследований описано в обзорных работах Orazio P. Attanasio [Attanasio, 1999; Attanasio, Weber, 2008; Attanasio, Weber, 2010]. В качестве ключевых задач будущих исследований авторы в первую очередь выделяют построение реалистичных моделей, соответствующих статистическим данным о потребительских расходах, в том числе за счет построения условий оптимального выбора объемов потребления, позволяющих анализировать влияние экономических условий на потребительские решения.

Одной из часто используемых модификаций, приближающих модели домашних хозяйств к реальности, является введение неопределенности через добавление случайных переменных. Однако, это значительно усложняет процесс решения. Для того, чтобы получить траекторию потребления в таких задачах необходимо корректно определить изменение состояний мира в зависимости от реализации случайных величин. В предположении, например,

4

квадратичной функции полезности удалось получить оптимальную траекторию потребления [Flavin, 1981], полагая доход домашнего хозяйства случайным. Также автору удалось показать, что решения для потребления в условиях неопределенности и полного предвидения совпадают, что обусловлено типом функции полезности. Тем не менее, модели с квадратичной полезностью не были подтверждены на данных и противоречили представлениям о потребительском отношении к риску. Позже в большом количестве исследований нашла свое применение CRRA (Constant Relative Risk Aversion) функция полезности [Hansen, Singleton, 1982], предполагающая степенную зависимость.

Основным инструментом описания потребительского выбора в такой задаче является уравнение Эйлера. Его лог-линеаризация приводит к эконометрической спецификации, позволяющей оценивать параметры функции полезности [Hansen, Singleton, 1983; Attanasio et al, 2020]. Уравнение Эйлера представляет собой необходимое условие, которому должна удовлетворять оптимальная траектория потребления в модели [Parker, 2008], содержащее только переменные задачи домашнего хозяйства и не требующее полного описания остальной экономики. Естественным ограничением такого подхода является то, что уравнение Эйлера может быть весьма ограничено использовано для прогнозирования уровня потребления или описания реакции уровня потребления на внешние экономические шоки, хотя для прикладных моделей эта задача крайне актуальна. В случае наличия такой функции появляется возможность анализа реакции потребления на изменения экономических условий [Attanasio, 2008].

Переход к задаче домашнего хозяйства, учитывающей необходимое для прикладного использования количество ограничений, сопряжен с неизбежными трудностями: растет сложность построения решения и оценки параметров модели, а также возникают дополнительные требования описания остальной экономики [Attanasio, 2008]. Расширить модель домашнего хозяйства можно с учетом дополнительных реалистичных аспектов

5

поведения: доступность домашнему хозяйству нескольких финансовых инструментов [Bodie, Merton, Samuelson, 1992], наличие ограничений ликвидности [Caroll, 2001], учет склонности домашних хозяйств к формированию привычек [Abel, 1990; Campbell, Cochrane, 1999], использование товаров длительного пользования, например, недвижимости [Caroll, Dunn, 1997].

Примеры расширения доступных домашнему хозяйству финансовых запасов можно встретить в моделях общего равновесия [Brock, Turnovsky, 1981]. Домашнему хозяйству доступны государственные и корпоративные облигации и акции, также предполагается, что домашнее хозяйство в модели платит налоги. Дополнительно в функцию полезности домашнего хозяйства добавлен в качестве аргумента запас денежных средств. Равновесие в модели описывается системой дифференциальных уравнений в предположении полного предвидения. В качестве результата получены различные режимы поведения домашнего хозяйства относительно финансовых инструментов. Похожий подход используется в работах [Hubbard, Judd, Hall, 1986; Judd, 1987].

В DSGE (Dynamic Stochastic General Equilibrium) моделях домашнее хозяйство также управляет потреблением и трудом, а иногда в функцию полезности включается спрос на деньги [Smets, Wouters, 2003]. В финансовом балансе домашнего хозяйства учитываются динамика наличных денег, облигации и инвестиции, так как часто предполагается, что домашние хозяйства являются собственниками фирм в модели. В различных модификациях DSGE моделей можно встретить учет чистых активов на балансе у домашнего хозяйства [Селезнев, Крепцев, 2018], учет депозитов домашних хозяйств DSGE [Bernanke et al, 1999]. В большинстве DSGE финансовые активы в распоряжении у домашних хозяйств предполагаются однопериодными.

Brunnermeier и Sannikov соединили макроэкономическую постановку задачи домашнего хозяйства и задачу управления портфелем из финансовой

6

экономики [Brunnermeier, Sannikov, 2014; Brunnermeier, Sannikov, 2016]. Ключевой особенностью этих работ является переход к непрерывному времени аналогично задачам финансовой экономики [Merton, Samuelson, 1992] и включение в финансовый баланс домашнего хозяйства случайных процессов.

Развитием работ Brunnermeier и Sannikov стали HANK (Heterogenous Agent New-Keynesian) модели [Kaplan, Moll, 2018], которые в том числе продолжают модели с гетерогенными потребителями [Cherrier, Duarte, Saidi, 2023]. Стоит отметить, что модели с гетерогенными потребителями берут свое начало от модели жизненного цикла и постоянного дохода [Bewley, 1977; Bewley, 1982]. HANK модели также предполагают присутствие неопределенности в экономике и вводят ликвидные и неликвидные типы активов. Разная степень ликвидности активов учитывается за счет введения в финансовый баланс домашнего хозяйства штрафных функций. Одной из ключевых задач моделей этого класса является описание косвенных эффектов воздействия монетарной политики на поведение домашних хозяйств. Такая задача требует расширения доступных домашнему хозяйству финансовых запасов. Разнообразие активов у домашнего хозяйства непосредственно связано с ограничениями ликвидности и учетом в модели использования товаров длительного пользования, особое внимание которым уделяется в исследованиях рынка недвижимости [Iacoviello, 2005; Piazzesi, Schneider, 2016].

Напрямую с этим связан вопрос учета срочности доступных домашнему хозяйству активов. В [Cochrane, 2001] показано, что срочность государственного долга влияет на оптимальное поведения государства. Для задачи домашнего хозяйства пример учета срочности можно найти в [Balcer, Judd, 1985]. В большинстве исследований активы предполагаются однопериодными, либо рассматриваются как товары длительного пользования [Guerrieri, Iacoviello, 2017; Greenwald, 2018].

Отдельно стоит отметить развитие математических методов, позволяющих решать и численно оценивать описанные задачи. Подробный обзор методов представлен в первой главе диссертации. Для задач в дискретном времени большинство полученных математических результатов описано в работах, посвященных математическому аппарату [Lucas, Stockey, 1989; Sargent, Ljungqvist, 2018] и работах по методам оценивания DSGE моделей [Fernández-Villaverde, Rubio-Ramírez, 2005; Fernández-Villaverde, Rubio-Ramírez, Schorfheide, 2016; Fernandez-Villaverde, 2021]. Модели в непрерывном времени описаны в работах [Cass, Shell, 1976; Seierstad, Sydsaeter, 1986; Kamien, Schwartz, 2012]. Современное развитие задач домашнего хозяйства в непрерывном времени описано в работах [Kamihigashi, 2006], [Seierstad, Sydsaeter, 2009], [Асеев и др., 2012].

В диссертационной работе предложена модель домашнего хозяйства, решающая часть задач, обозначенных в [Attanasio, 2008]. Удалось получить траекторию для потребления, зависящую от экзогенных экономических условий. Решена задача домашнего хозяйства управляющего потреблением, трудом, кредитами и депозитами в национальной и иностранной валютах, операциями с валютой и недвижимостью. Для каждого из активов введены дюрации и ограничения ликвидности. Домашнее хозяйство решает задачу перераспределения ликвидности (наличности) между доступными ему активами и пассивами. Получить решение удается благодаря тому, что модель сформулирована в непрерывном времени на конечном временном интервале в условиях полного предвидения. Полученные соотношения модели оценены на данных по российской экономике. Также представлена версия модели, которая оценена для случая 10 доходных групп домашних хозяйств. Приведен относительно простой пример интеграции модели домашнего хозяйства в модель общего равновесия с тремя агентами: Банк, Потребитель, Производитель. Результат, представленный в работе, отвечает [Cai, Judd, 2023], где авторы показывают, что аналитическое решение детерминированной задачи может быть использовано для аппроксимации

8

более сложных задач с учетом неопределенности, что создает задел для будущих исследований.

1.2 Математические аспекты задачи домашнего хозяйства

Оптимизационные задачи, описывающие решения экономических агентов, являются одним из способов обоснования зависимостей в экономике. Особенно сложными такие задачи становятся в динамической постановке. Обычно для работы с такими задачами требуется:

• определить целевую функцию агента, управляемые им переменные и описать ограничения [Attanasio, Weber, 2010];

• решить оптимизационную задачу, в результате которой получается функциональная зависимость между переменными. Не всегда можно вывести аналитическое решение задачи агента;

• описать взаимодействие с экономикой. Если в модели рассматривается оптимизационная задача одного агента, а поведение остальной экономики описывается заданными соотношениями или правилами, то развитие экономики описывается системой как в QPM [Kharitonchik, 2023]. Если в модели несколько оптимизационных задач описывающих поведение разных агентов, то согласовать решения для описания равновесия за счет выбора информационных переменных (цен, ставок и др.). [Smets, Wouters, 2003];

• выбрать метод работы с задачей (с целью симуляции или переложения модели на данные), который определяет математические техники, требуемые для его применения (например, линеаризация, дискретизация системы и др.). В стохастических задачах, как правило, невозможно получить решение в аналитическом смысле, поэтому их решения приближаются, например, детерминированными задачами [Cai, Judd, 2023];

• для определения параметров модели выбрать метод калибровки или оценки.

Этот процесс решает задачу идентификации системы [Romer, 2016; Nakamura, Steinsson, 2018], описывающей поведение экономического агента или экономику в целом. Под идентификацией подразумевается формализация теоретических предположений, определяющих причинно-следственные связи. Количественные методы позволяют получить различные типы решений в виде: линейной, нелинейной аппроксимаций или симуляции аналитического решения системы, если таковое существует.

Идентификация системы уравнений для описания экономической структуры напрямую зависит от возможности решить оптимизационную задачу агента. Показательным примером является модель Рамсея, которая была сформулирована в 1928 году [Ramsey, 1928], решена с некоторыми допущениями D. Cass в 1965 в непрерывном времени [Cass, 1965], детально исследована в дискретном времени R. Becker [Becker, 1980; Becker, Foias, 1987; Becker, Foias, 1994; Becker, 2006; Becker, Mitra, 2012; Becker et al, 2014], а полностью исследована в оригинальной постановке в 2013 году [Mitra, Sorger, 2013]. Важным результатом исследования в непрерывном времени является то, что переход к нему позволил ослабить многие предпосылки необходимые R. Becker для исследования модели в дискретном времени.

Активное использование непрерывного времени сопряжено с развитием теории оптимального управления. Применение оптимального управления в экономике началось почти мгновенно после издания Понтрягиным Л. С., Болтянским В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. монографии «Математическая теория оптимальных процессов» в 1961 году. Вскоре книга была переведена на английский язык в 1962 [Pontryagin et al, 1962] и издана John Wiley & Sons [Гамкрелидзе, 2019]. В США математический аппарат был применен к задачам об экономическом росте H. Uzawa и K. Arrow со своими аспирантами K. Shell и D. Cass. В своей диссертационной работе D. Cass рассмотрел задачу Рамсея в непрерывном времени [Cass, 1965].

«Оиг bible at the time was Pontxyagin's original book on the maximum principle».

D. Cass о периоде работы над диссертацией под руководством H. Uzawa [Spear, Wright, 1998].

В период с 1962 по 1980 наблюдался рост популярности моделей экономического роста с применением теории оптимального управления. Впервые ее применимость к экономическим задачам обосновал R. Dorfman [Dorfman, 1969] на примере теории капитала. В 70-е активно исследовались свойства систем дифференциальных уравнений, которые получаются после решения оптимизационных задач экономических агентов [Cass, Shell, 1976]. С одной стороны, необходимо было понять гарантируют ли экономические постановки математические свойства системы, с другой - обнаруженное P. Samuelson и R. Solow [Dorfman, Solow, Samuelson, 1958] магистральное свойство указало на устойчивость подобного рода систем [Bewley, 1980]. Оказалось, что экономические системы имеют седловое решение [Поспелов, 2010], что отличает эти системы от физических и требует других математических решений. K. Shell говорил о наличии ограничений со стороны математического знания для решения динамических задач [Shell, 19б9; Shell, 1981].

Последние 30 лет макроэкономические модели использовали преимущественно дискретное время. Книги Recursive Macroeconomic Dynamics [Lucas, Stokey, 1989] и Recursive Macroeconomic Theory [Ljungqvist, Sargent, 2018] содержат исчерпывающий теоретический фундамент для описания экономических задач в дискретном времени.

Выбор абстракции времени определяет математические техники на неминуемо возникающих в экономических задачах этапах аппроксимации решений. Fernandez-'Villaveráe неоднократно подчеркивал, что математические методы во многом ограничены изначальным выбором в моделях дискретного времени и обращал внимание, что задачи могут быть

11

исследованы в непрерывном времени, что может открыть новые опции как для оценивания, так и для постановок в терминах предпосылок [Fernandez-Villaverde, Rubio-Ramirez, 2016]. В работе [Fernandez-Villaverde, 2021] автор определил первой задачей исследование возможностей непрерывного времени, а второй использование и развитие методов для аппроксимации нелинейных решений.

Начиная с 2010-х наблюдается сдвиг в сторону постановок задач в непрерывном времени. Предпринята попытка решения новой кейнсианской модели в непрерывном времени [Fernandez-Villaverde, 2012]. Исследована задача Рамсея в оригинальной постановке в непрерывном времени. Сравнение полученных результатов с дискретным временем показало, что выбор абстракции времени существенно влияет на интерпретацию результатов модели, из-за разных наборов предпосылок необходимых для решения. [Mitra, Sorger, 2013]. Исследована модель нового монетаризма в непрерывном времени [Choi, Rocheteau, 2021]. Современное поколение моделей с гетерогенным домашним хозяйством формулируются в непрерывном времени и исследуются при помощи теории стохастического оптимального управления [Brunnermeier, Sannikov, 2014; Achdou, Moll, et al, 2022].

Достаточные условия для экономических задач на бесконечном горизонте планирования сформулировал K. Arrow [Arrow, Kurz, 1969], которые позже доказали его ученики [Kamien, Schwartz, 1971]. H. Halkin привел контрпримеры, когда предложенное K. Arrow условие трансверсальности на бесконечность не выполняется [Halkin, 1974]. С тех пор вопрос не имеет обобщенного ответа, что отметил в своей книге D. Acemoglu [Acemoglu, 2008]. Смена абстракции времени на непрерывное вынуждает иначе относиться к бесконечному горизонту планирования. Например, можно показать, что в стандартных экономических постановках решения на конечном и бесконечном горизонтах планирования совпадают, что отметил A. Dixit в учебнике по динамическому программированию о часто встречающейся форме достаточных условий трансверсальности:

lim ^(T)y(T) = 0,

где ^(t) — двойственная переменная к ограничению.

«... It is a natural extension of the transversality condition (which is just the complementary slackness condition) for a finite horizon problem with a nonnegative terminal stock requirement.

Apart from this new condition, infinite horizon optimization is no different from the finite horizon case». [Dixit, 1991]

В главе для Palgrave Dictionary of Economics K. Shell [Shell, 1987] заключил, что опыт подхода к экономическим задачам при помощи теории оптимального управления не увенчался успехом в силу ограниченности доступных математических результатов. В начале 00-х в интервью он подчеркнул перспективность этого направления [Spear, 2001].

K. Sydsaeter отметил в конце 70-х, что в ключевых журналах по макроэкономике (Econometrica, Journal of Economic Theory, Review of Economic Studies) количество опубликованных работ с применением теории оптимального управления превысило 100 [Sydsaeter, 1978]. Sydsaeter обратил внимание, что большинство экономистов ошибочно используют теорию оптимального управления, рассматривая только внутренние решения. В задаче оптимального управления экономического агента возникают двойственные переменные, которые могут принимать нулевые и положительные значения. Как правило, экономисты игнорируют случай нулевых значений, что не приводит к полноценному решению задачи. Предостережение K. Sydsaeter заключалось в том, что экономисты должны аккуратнее формулировать математические предпосылки в своих задачах. Его настораживало количество фактов, постулированных на основе не полностью исследованных задач из-за некорректно примененного инструментария. Позже к аналогичному выводу пришел С. Г. Лобанов в работе [Лобанов, 1999].

Опыт применения теории оптимального управления к экономическим

задачам за период с 1962 по 1980-е структурирован в [Acemoglu, 2009].

13

Хорошим учебником для первого знакомства с теорией оптимального управления является [Sydsaeter, 2012]. Наиболее полное и математически аккуратное обсуждение проблем теории оптимального управления в экономике приведено в книге [Seierstad, Sydsaeter, 1987]. Ключевые результаты, без глубоких доказательств описаны в [Kamien, Schwartz, 1991].

Внимание к задачам теории оптимального управления в экономике вновь вернулось в 2000-е. M. Weitzman в 2003 году в книге Income, wealth and the maximum principle обосновал применимость принципа максимума к экономике, предложив описание возможных экономических задач: задачу фирмы, задачу потребителя, задачу инвестора, задачи ресурсной экономики и др. [Weitzman, 2003]. Один из ключевых акцентов M. Weitzman ставит на гармонии между инструментарием, балансовом описании экономики и собираемой статистикой. Краткое знакомство с актуальным обоснованием принципа максимума в экономике можно получить из доклада Weitzman [Weitzman, 2016]. В 2000-е теория оптимального управления в экономике получила развитие в работах T. Kamihigashi [Kamihigashi, 2006], K. Sydsaeter, A. Seierstad [Seierstad, Sydsaeter, 2009], С. М. Асеева [Асеев и др., 2012].

Диссертация предлагает решение задачи домашнего хозяйства в непрерывном времени. Предложенное решение при помощи техники смягчения условий дополняющей нежесткости дополняет математическую литературу по решению экономических задач в непрерывном времени. Описанная методика применима и к другим агентам. Так в работах [Пильник и др., 2018] исследована задача банка, а в [Поспелов, Пильник, 2018; Андреев, Вржещ и др., 2013] исследованы свойства моделей равновесия, построенных по описанной методике.

2. МОДЕЛЬ АГРЕГИРОВАННОГО ДОМАШНЕГО ХОЗЯЙСТВА

2.1 Модификация функции полезности домашнего хозяйства

На простом примере задачи домашнего хозяйства рассмотрим ограничения, естественно возникающие в дискретном времени, и обсудим возможности их ослабления в непрерывном.

Стандартная задача домохозяйства, которую можно найти, например, в [Costa, 2018].

max

C t ,Lt ,Kt+i

t=0

1 Çï 1-G 1 J^i 1+Ф

1 -G

1 + Ç

P ( Ct + It ) = wtLt + RtKt

K+1 = It +(1 S) K

(2.1.1)

(2.1.2) (2.1.3)

Условия оптимальности запишем в виде

FCt ~G=\Pt

F L 9 =

-PtAt + Et (P+1 (1 - S)At+1 + R+1^+1 ) = 0

(2.1.4)

(2.1.5)

(2.1.6)

После упрощения можно получить соотношение

C =

с \

w

к P У

L

G

(2.1.7)

1

Рассмотрим размерность представленных в последнем уравнении величин. Потребление С измеряется либо в штуках, либо (что более естественно с точки зрения СНС) в рублях базового года. Цены р либо в рублях за штуку, либо в рублях за рубль базового года (и в этом случае ее

нужно трактовать как дефлятор). Объем труда Ц может измеряться либо в

количестве занятых, либо в часах занятости, либо быть безразмерной величиной, интерпретируемой как доля рабочего времени. Тогда оплата труда щ измеряется либо в рублях на одного занятого, либо в рублях за час

занятости, либо просто в рублях.

Проверим инвариантность рассматриваемой задачи к выбору единиц измерения переменных. Для этого, например, перейдем от штук (рублей базового года), в которых измеряется потребление С к тысячам штук (тысячам рублей базового года). То есть сделаем замену

С(=Ш0С( (2.1.8)

Тогда должна соответствующим образом измениться и размерность переменной р (с учетом того, что изменяемая единица измерения у нее стоит

в знаменателе)

(2.1.9)

' 1000

Идея инвариантности к выбору единиц измерения предполагает, что уравнение (2.1.7) остается верным для обоих вариантов единиц измерения, то есть

С, =

с \

щ

к р У

Ц

С,=

с \

3.

(2.1.10)

(2.1.11)

1

<р

Однако после подстановки соотношений (2.1.8) и (2.1.9) получим, что для этого обязано выполняться соотношение

1000 = 1000-, (2.1.12)

то есть во всех случаях, когда сгф 1 рассматриваемая задача домохозяйства не инвариантна к выбору единиц измерения. Аналогичный вывод относительно параметра р можно получить, если изменить единицы измерения труда Ц.

Этот результат вполне естественен, поскольку при вычислении функции полезности в степень возводится размерная величина.

Для восстановления инвариантности задачи оба аргумента функции полезности должны нормироваться на величины соответствующих размерностей, то есть в общем случае функция полезности должна выглядеть как

+«> í г т Л

Х/МтЬт > (2ЛЛЗ)

(=0 V ^ ^ )

где С,Ь - некоторые выделенные постоянные значения потребления и труда (не факт, что эти значения соответствуют некоторому периоду).

В записи (2.1.13) и(•,•) отвечает за выбор между потреблением и

трудом для каждого момента времени. Важно, что сама эта функция является вспомогательным инструментом для задания предпочтений, и поэтому решение задачи домохозяйства должно быть инвариантно относительно монотонного преобразования g (и (•, •)).

Рассмотрим модифицированную задачу поиска сбалансированного роста в модели

тах

Сг ,Кг+1

г=0

1 -а

чСу

р ( С + Iг ) = +

Кг+1 = I +(1 -*) К

1 + (р

{ ^ У+<Р

(2.1.14)

(2.1.15)

(2.1.16)

Ее условия оптимальности запишем в виде

1 (С \а с^Щ =х'р'

1 (1 У

- РЛ + Р+1 (1 + Ъ+Л+1 = 0

(2.1.17)

(2.1.18) (2.1.19)

Из уравнения (2.1.17) можем записать

)

/ \ а

С

8 '(и г-1 к

С-1

Л-1р-1

(2.1.20)

Заметим, что исходная задача поиска сбалансированного роста возникает как частный случай рассматриваемой при 8(и( ) = и . Следовательно решение

этих задач будет совпадать только если 8 '(и{) остается константой вдоль всей траектории сбалансированного роста. Такого эффекта можно добиться, если в (2.1.13) считать, что С,Ь - не выделенные постоянные значения потребления и труда, а, например, их траектории на сбалансированном росте.

В [1уавЬсЬепко, 2025] можно найти аналогичный подход с нормировкой аргументов функции полезности на специальные стохастические тренды, что обеспечивает коинтегрированность аргументов. В [Полбин, 2024] добавляется специальный множитель в слагаемому функции полезности, зависящей от

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ужегов Алексей Александрович, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Андреев М. Ю. и др. Модель межвременного равновесия экономики России, основанная на дезагрегировании макроэкономического баланса //Труды семинара имени ИГ Петровского. - 2013. - Т. 29. - №. 0. - С. 43-145.

2. Асеев С. М., Бесов К. О., Кряжимский А. В. Задачи оптимального управления на бесконечном интервале времени в экономике //Успехи математических наук. - 2012. - Т. 67. - №. 2 (404. - С. 3-64.

3. Васильев С. Б., Пильник Н. П., Радионов С. А. Смягчение условий дополняющей нежесткости в динамических моделях общего равновесия //Математическое моделирование. - 2018. - Т. 30. - №. 12. -С. 111-128.

4. Гамкрелидзе Р. В. История открытия принципа максимума Понтрягина //Труды Математического института имени ВА Стеклова. - 2019. - Т. 304. - №. 0. - С. 7-14.

5. Жукова А. А., Поспелов И. Г. Исследование стохастической модели сбережений с инерционностью потребления //Труды Московского физико-технического института. - 2014. - Т. 6. - №. 4 (24). - С. 41-48.

6. Крепцев Д., Селезнев С. Прогнозирование российской экономикис использованием ЭБОБ-моделей с малым количеством уравнений //Деньги и кредит. - 2018. - №. 2. - С. 51-67.

7. Лобанов С. Г. К теории оптимального экономического роста //Экономический журнал Высшей школы экономики. - 1999. - Т. 3. -№. 1. - С. 28-41.

8. Орлов А. Квартальная прогнозная модель России //Банк России. - 2021.

9. Пильник Н. П., Радионов С. А., Языков А. А. Модель оптимального поведения современной российской банковской системы //Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2018. - Т. 22. -№. 3. - С. 418-447.

10.Пильник Н. П., Поспелов И. Г. О естественных терминальных условиях в моделях межвременного равновесия //Экономический журнал Высшей школы экономики. - 2007. - Т. 11. - №. 1. - С. 3-34.

11. Полбин А. В. Анализ фискальных мультипликаторов для российской экономики на основе DSGE-модели с предпочтениями Яймовича и Ребело //Экономическая политика. - 2024. - Т. 19. - №. 6. - С. 82-119.

12.Поспелов И. Г. Модели экономической динамики, основанные на равновесии прогнозов экономических агентов. - ВЦ РАН, 2003.

13.Поспелов И. Г. Экономика versus физика - парадоксы в вопросах и ответах // Экология и жизнь. - 2010. - № 4. - С. 16-25.

14.Поспелов И. Г., Пильник Н. П. Динамические модели общего равновесия как инструмент анализа и прогнозирования экономики России //Вестник ЦЭМИ. - 2018. - №. 1. - С. 12-12.

15.Поспелов И. Г., Хохлов М. А. Метод проверки размерности для исследования моделей экономической динамики //Математическое моделирование. - 2006. - Т. 18. - №. 10. - С. 113-122.

16.Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. - 1977.

17.Abel A. B. Asset prices under habit formation and catching up with the Joneses. - 1990.

18.Achdou Y. et al. Income and wealth distribution in macroeconomics: A continuous-time approach //The review of economic studies. - 2022. - Т. 89. - №. 1. - С. 45-86.

19.Acemoglu D. Introduction to modern economic growth. - Princeton university press, 2008.

20.Aseev S. M., Besov K. O., Kryazhimskii A. V. Infinite-horizon optimal control problems in economics //Russian Mathematical Surveys. - 2012. -Т. 67. - №. 2. - С. 195.

21.Arrow K. J., Kurz M. Optimal consumer allocation over an infinite horizon //Journal of Economic Theory. - 1969. - Т. 1. - №. 1. - С. 68-91.

22.Attanasio O. P. Consumption //Handbook of macroeconomics. - 1999. - T. 1. - C. 741-812.

23.Attanasio O., Kovacs A., Molnar K. Euler equations, subjective expectations and income shocks //Economica. - 2020. - T. 87. - №. 346. - C. 406-441.

24.Attanasio O. P., Weber G. Consumer expenditure (new developments and the state of research) //The New Palgrave Dictionary of Economics. -Palgrave Macmillan, London, 2008. - C. 1-16.

25.Attanasio O. P., Weber G. Consumption and saving: models of intertemporal allocation and their implications for public policy //Journal of Economic literature. - 2010. - T. 48. - №. 3. - C. 693-751.

26.Balcer Y., Judd K. L. Optimal Consumption Plans and Portfolio Management with Duration-Dependent Returns. - Discussion Paper, 1985. -№. 673.

27.Becker R. A. On the long-run steady state in a simple dynamic model of equilibrium with heterogeneous households //The Quarterly Journal of Economics. - 1980. - T. 95. - №. 2. - C. 375-382.

28.Becker R. A., Foias C. A characterization of Ramsey equilibrium //Journal of Economic Theory. - 1987. - T. 41. - №. 1. - C. 173-184.

29.Becker R. A., Foias C. The local bifurcation of Ramsey equilibrium //Economic Theory. - 1994. - T. 4. - C. 719-744.

30.Becker R. A. Equilibrium dynamics with many agents //Handbook on optimal growth 1: Discrete time. - Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2006. - C. 385-442.

31.Becker R. A., Mitra T. Efficient ramsey equilibria //Macroeconomic Dynamics. - 2012. - T. 16. - №. S1. - C. 18-32.

32.Becker R. A., Dubey R. S., Mitra T. On Ramsey equilibrium: capital ownership pattern and inefficiency //Economic Theory. - 2014. - T. 55. - C. 565-600.

33.Bernanke B. S., Gertler M., Gilchrist S. The financial accelerator in a quantitative business cycle framework //Handbook of macroeconomics. -1999. - T. 1. - C. 1341-1393.

34.Bewley T. The permanent income hypothesis: A theoretical formulation //Journal of Economic Theory. - 1977. - T. 16. - №. 2. - C. 252-292.

35.Bewley T. An integration of equilibrium theory and turnpike theory //Journal of Mathematical Economics. - 1982. - T. 10. - №. 2-3. - C. 233267.

36.Bodie Z., Merton R. C., Samuelson W. F. Labor supply flexibility and portfolio choice in a life cycle model //Journal of economic dynamics and control. - 1992. - T. 16. - №. 3-4. - C. 427-449.

37.Boltyanskiy, V. G., Gamkrelidze, R. V., Mishchenko, Y. E. F., & Pontryagin, L. S. Mathematical theory of optimal processes. - 1962.

38.Brock W. A., Turnovsky S. J. The analysis of macroeconomic policies in perfect foresight equilibrium //International Economic Review. - 1981. - C. 179-209.

39.Brunnermeier M. K., Sannikov Y. A macroeconomic model with a financial sector //American Economic Review. - 2014. - T. 104. - №. 2. - C. 379421.

40.Brunnermeier M. K., Sannikov Y. Macro, money, and finance: A continuous-time approach //Handbook of macroeconomics. - Elsevier, 2016. - T. 2. - C. 1497-1545.

41.Cai Y., Judd K. L. A simple but powerful simulated certainty equivalent approximation method for dynamic stochastic problems //Quantitative Economics. - 2023. - T. 14. - №. 2. - C. 651-687.

42.Campbell J. Y., Cochrane J. H. By force of habit: A consumption-based explanation of aggregate stock market behavior //Journal of political Economy. - 1999. - T. 107. - №. 2. - C. 205-251.

43.Carlson D. A., Haurie A. B., Leizarowitz A. Infinite horizon optimal control: deterministic and stochastic systems. - Springer Science & Business Media, 2012.

44.Carroll C. D. A theory of the consumption function, with and without liquidity constraints //Journal of Economic perspectives. - 2001. - T. 15. -№. 3. - C. 23-45.

45.Carroll C. D., Dunn W. E. Unemployment expectations, jumping (S, s) triggers, and household balance sheets //NBER macroeconomics annual. -1997. - T. 12. - C. 165-217.

46.Cass D. Optimum growth in an aggregative model of capital accumulation //The Review of economic studies. - 1965. - T. 32. - №. 3. - C. 233-240.

47.Cass D., Shell K. (ed.). The Hamiltonian approach to dynamic economics. -Academic Press, 1976

48.Cherrier B., Duarte P. G., Sai'di A. Household heterogeneity in macroeconomic models: A historical perspective //European Economic Review. - 2023. - T. 158. - C. 104497.

49.Choi M., Rocheteau G. New Monetarism in continuous time: Methods and applications //The Economic Journal. - 2021. - T. 131. - №. 634. - C. 658696.

50. Cochrane J. H. Long-term debt and optimal policy in the fiscal theory of the price level //Econometrica. - 2001. - T. 69. - №. 1. - C. 69-116.

51.Dixit A. K. Optimization in economic theory. - OUP UK, 1990.

52.Dorfman R. An economic interpretation of optimal control theory //The American Economic Review. - 1969. - T. 59. - №. 5. - C. 817-831.

53.Dorfman R., Samuelson P. A., Solow R. M. Linear programming and economic analysis. - Courier Corporation, 1987.

54.Elminejad A., Havranek T., Irsova Z. Relative risk aversion: A metaanalysis //Journal of Economic Surveys. - 2022.

55.Femández-Vülaverde J., Rubio-Ramírez J. F. Estimating dynamic equilibrium economies: linear versus nonlinear likelihood //Journal of Applied Econometrics. - 2005. - T. 20. - №. 7. - C. 891-910.

56.Fernández-Villaverde J., Posch O., Rubio-Ramirez J. F. Solving the new Keynesian model in continuous time //Unpublished Manuscript, Federal Reserve Bank of Atlanta (August). - 2012.

57.Fernández-Villaverde J., Rubio-Ramírez J. F., Schorfheide F. Solution and estimation methods for DSGE models //Handbook of macroeconomics. -Elsevier, 2016. - T. 2. - C. 527-724.

58.Fernández-Villaverde J., Guerrón-Quintana P. A. Estimating DSGE models: Recent advances and future challenges //Annual Review of Economics. -2021. - T. 13. - №. 1. - C. 229-252.

59.Flavin M. A. The adjustment of consumption to changing expectations about future income //Journal of political economy. - 1981. - T. 89. - №. 5. - C. 974-1009.

60.Friedman M. The permanent income hypothesis //A theory of the consumption function. - Princeton University Press, 1957. - C. 20-37.

61.Ghysels E., Sinko A., Valkanov R. MIDAS regressions: Further results and new directions //Econometric reviews. - 2007. - T. 26. - №. 1. - C. 53-90.

62.Greenwald D. The mortgage credit channel of macroeconomic transmission. - 2018.

63.Halkin H. Necessary conditions for optimal control problems with infinite horizons //Econometrica: Journal of the Econometric Society. - 1974. - C. 267-272.

64.Hansen L. P., Singleton K. J. Generalized instrumental variables estimation of nonlinear rational expectations models //Econometrica: Journal of the Econometric Society. - 1982. - C. 1269-1286.

65.Hansen L. P., Singleton K. J. Stochastic consumption, risk aversion, and the temporal behavior of asset returns //Journal of political economy. - 1983. -T. 91. - №. 2. - C. 249-265.

66.Holden T., Levine P., Swarbrick J. Reconciling Jaimovich-Rebello preferences, habit in consumption and labor supply //Economics Letters. -2018. - T. 168. - C. 132-137.

67.Hubbard R. G. et al. Liquidity constraints, fiscal policy, and consumption //Brookings Papers on Economic Activity. - 1986. - T. 1986. - №. 1. - C. 1-59.

68.Iacoviello M. House prices, borrowing constraints, and monetary policy in the business cycle //American economic review. - 2005. - T. 95. - №. 3. -C. 739-764.

69.Ivashchenko S. Sector-Specific Supply and Demand Shocks: Joint Identification// Bank of Russia - 2024.

70.Jaimovich N., Rebelo S. Can news about the future drive the business cycle? //American Economic Review. - 2009. - T. 99. - №. 4. - C. 1097-1118.

71.Jappelli T., Pistaferri L. The consumption response to income changes //Annu. Rev. Econ. - 2010. - T. 2. - №. 1. - C. 479-506.

72.Judd K. L. The welfare cost of factor taxation in a perfect-foresight model //Journal of Political Economy. - 1987. - T. 95. - №. 4. - C. 675-709.

73.Kamien M. I., Schwartz N. L. Sufficient conditions in optimal control theory //Journal of Economic Theory. - 1971. - T. 3. - №. 2. - C. 207-214.

74.Kamien M. I., Schwartz N. L. Dynamic optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management. - courier corporation, 2012.

75.Kamihigashi T. et al. Transversality conditions and dynamic economic behavior //The New Palgrave dictionary of economics (segunda edición). Londres: MacMillan Palgrave. - 2006.

76.Kaplan G., Moll B., Violante G. L. Monetary policy according to HANK //American Economic Review. - 2018. - T. 108. - №. 3. - C. 697-743.

77.Kharitonchik A. Quarterly projection model for Belarus: methodological aspects and practical applications //BEROC working paper series. - 2023. -T. 82. - C. 1-84.

78.Ljungqvist L., Sargent T. J. Recursive macroeconomic theory. - MIT press, 2018.

79.McCracken M. W., Owyang M., Sekhposyan T. Real-time forecasting and scenario analysis using a large mixed-frequency Bayesian VAR //FRB St. Louis Working Paper. - 2015. - №. 2015-30.

80.Merton R. C., Samuelson P. A. Continuous-time finance. - 1992.

81.Mitra T., Sorger G. On Ramsey's conjecture //Journal of economic theory. -2013. - T. 148. - №. 5. - C. 1953-1976.

82.Modigliani F., Brumberg R. Utility analysis and the consumption function: An interpretation of cross-section data //Franco Modigliani. - 1954. - T. 1. -№. 1. - C. 388-436.

83.Nakamura E., Steinsson J. Identification in macroeconomics //Journal of Economic Perspectives. - 2018. - T. 32. - №. 3. - C. 59-86.

84.Parker J. A. Euler equations //The New Palgrave Dictionary of Economics. -Palgrave Macmillan, London, 2008. - C. 1-6.

85.Parra-Alvarez J. C. A comparison of numerical methods for the solution of continuous-time DSGE models //Macroeconomic Dynamics. - 2018. - T. 22. - №. 6. - C. 1555-1583.

86.Piazzesi M., Schneider M. Housing and macroeconomics //Handbook of macroeconomics. - 2016. - T. 2. - C. 1547-1640.

87.Pilnik N., Ujegov A. The Use of Relaxation of Complementary Slackness Conditions for Jointing in General Equilibrium Models //2021 14th International Conference Management of large-scale system development (MLSD). - IEEE, 2021. - C. 1-5.

88.Pospelov I. G. Intensive quantities in an economy and conjugate variables //Mathematical Notes. - 2013. - T. 94. - C. 146-156.

89.Radionov S., Pilnik N., Pospelov I. The relaxation of complementary slackness conditions as a regularization method for optimal control problems //Advances in Systems Science and Applications. - 2019. - T. 19. - №. 2. -C. 44-62.

90.Ramsey F. P. A mathematical theory of saving //The economic journal. -1928. - T. 38. - №. 152. - C. 543-559.

91.Romer P. The trouble with macroeconomics. - 2016.

92.Schumacher C. A comparison of MIDAS and bridge equations

//International Journal of Forecasting. - 2016. - T. 32. - №. 2. - C. 257270.

93.Seierstad A., Sydsaeter K. Optimal control theory with economic applications. - Elsevier North-Holland, Inc., 1986.

94.Seierstad A., Syds^ter K. Conditions implying the vanishing of the

Hamiltonian at infinity in optimal control problems //Optimization Letters. -2009. - T. 3. - C. 507-512.

95. Shell K. Applications of Pontryagin's maximum principle to economics //Mathematical Systems Theory and Economics I/II: Proceeding of an International Summer School held in Varenna, Italy, June 1-12, 1967. -Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1969. - C. 241-292.

96. Shell K. Sunspot equilibrium, in ''The New Palgrave: A Dictionary of Economics''(J. Eatwell, M. Milgate, and P. Newman, Eds.), Vol. 4 //New York: Macmillan. - 1987. - T. 549. - C. 51.

97.Smets F., Wouters R. An estimated dynamic stochastic general equilibrium model of the euro area //Journal of the European economic association. -2003. - T. 1. - №. 5. - C. 1123-1175.

98.Spear S. E. An interview with Karl Shell //Macroeconomic Dynamics. -2001. - T. 5. - №. 5. - C. 701-741.

99.Spear S. E., Wright R. Interview with David Cass //Macroeconomic Dynamics. - 1998. - T. 2. - №. 4. - C. 533-558.

100. Stokey N. L., Lucas Jr R. E. Recursive methods in economic dynamics. - Harvard University Press, 1989.

101. Syds^ter K. Optimal control theory and economics. Some critical remarks on the literature. - 1978.

102. Syds^ter K., Seierstad A., Strom A. Further mathematics for economic analysis. - Pearson education, 2008.

103. Ujegov A. The Model of the Aggregated Consumer with Detailed Description of Consumer Financial Balance Using the Original Method of Relaxation of Complementary Slackness Conditions //Advances in Systems Science and Applications. - 2021. - T. 21. - №. 4. - C. 16-30.

104. Weitzman M. L. Income, Wealth, and the Maximum Principle //Harvard University Press. - 2003.

105. Weitzman M. L. A tight connection among wealth, income, sustainability, and accounting in an ultra-simplified setting //National wealth: what is missing, why it matters. —Oxford University Press United Kingdom. - 2016.