Превратные пучки на торических многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гуминов Сергей Владимирович

• Гуминов Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Гуминов Сергей Владимирович

1.1 Торическая геометрия

1.2 ¿-структуры и их склейки

1.3 Превратные пучки

2 Превратные пучки на гладких торических многообразиях

2.1 Конструкция алгебры по вееру многообразия

2.2 Данные спуска

2.3 Эквивалентность данных спуска

2.4 Эквивариантные превратные пучки

3 Теорема Бейлинсона для реализуемых стратификаций

4 Проективные генераторы в категориях превратных пучков

4.1 Процедура склейки

4.2 Превратные пучки на торических поверхностях

4.3 Эквивариантные превратные пучки

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Превратные пучки на торических многообразиях»

Введение

Превратные пучки - один из центральных объектов изучения в топологии и геометрии, особенно важный для изучения сингулярных многообразий. Также теория превратных пучков нашла множество применений в теории чисел, теории дифференциальных уравнений, теории представлений и множестве других областей математики.

Основная мотивация для определения превратных пучков пришла из теории И-модулей. Гладкому (для простоты формулировки) комплексному алгебраическому многообразию X можно сопоставить две триангулированные категории: производную категорию Их-модулей с регулярными голономными когомологиями ) и производную категорию пучков в аналитической топологии с конструктивными в топологии Зарисского когомологиями Оъс(Хап). Независимо друг от друга, М. Касивара [28] и З. Мебхут [35] установили, что функтор де Рама ИЯ : ) ^ Въс(Хап) является эквивалентностью. Эта эквивалентность должна переводить абелеву категорию регулярных голономных Их-модулей в некоторую абелеву подкатегорию Регу(Х) в Оъс(Хап).

Внутреннее определение этой абелевой подкатегории было дано А. Бейлинсоном, И. Бернштейном, П. Делинем и О. Габбером [2]. Для этого было определено понятие ¿-структуры на триангулированной категории. Каждой ¿-структуре соответствует абе-лева категория, называемая сердцевиной, и Регу(Х) оказалась в точности сердцевиной так называемой превратной ¿-структуры на Оъс(Хап). С тех пор множество интересных абелевых категорий, среди которых целое семейство категорий превратных пучков и их обобщений, было определено как сердцевины подходящих ¿-структур. Например, в теории представлений часто представляют интерес категории превратных пучков Регу^(Х) на многообразии X, которые как объекты производной категории пучков имеют ко-гомологии, конструктивные относительно какой-то фиксированной стратификации Е многообразия.

Главное свойство абелевых категорий - это наличие в них хорошо взаимодействующих между собой ядер и коядер. Однако определение абелевой категории как сердцевины ¿-структуры не даёт способа вычисления ядра или коядра морфизма категории. Это одна из причин, по которым представляет интерес для конкретного многообразия X со стратификацией Е получить эквивалентное описание Регу^ (X) на более простом языке. Самый известный результат в этом направлении - описание категории превратных пучков Регу^(С1), где комплексная прямая стратифицирована точкой 0 и её дополнением, как категории пар векторных пространств с парой отображений между ними [38, 4].

В литературе представлено несколько методов построения подобной конкретной формы категории превратных пучков. Метод Р. Макферсона и К. Вилонена [34] позволяет описать эту категорию с помощью индуктивной процедуры, поочерёдно "приклеивающей" страты многообразия. В их же совместной с С. Гельфандом работе [23] строится микролокальная версия категории превратных пучков, что позволяет описывать превратные пучки в терминах локальных систем на подмногообразиях в кокасательном расслоении многообразия. Результаты А. Бейлинсона [4] позволяют с помощью функторов близких и исчезающих циклов получить описание категории превратных пучков из категорий превратных пучков на дивизоре регулярной функции и дополнении. Тем не

менее, все эти подходы в той или иной степени сложны технически или вычислительно. Конкретные эквивалентные формы категорий превратных пучков были получены только для немногих классов многообразий, среди которых грассманианы типов А и И со стратификацией клетками Шуберта [11], аффинные пространства со стратификацией гиперплоскостями [26], многообразия матриц со стратификацией рангом [12].

Центральным объектом изучения в данной работе являются категории превратных пучков на торических многообразиях. Одной из причин для изучения превратных пучков именно на торических многообразиях послужило наблюдение А.И. Бондала и Т. Логвиненко [9], заключающееся в том, что категория превратных пучков на С эквивалентна категории конечномерных модулей над алгеброй А, центром которой является кольцо полиномов Лорана к[£,£-1], которое можно воспринимать как групповую алгебру (Сх), и более того, А конечно порождена как модуль над к[£,£-1]. Таким образом, превратные пучки, являющиеся конструктивными объектами, можно проинтерпретировать как некоторые когерентные пучки на одномерном торе Сх . Это представляет интерес, так как соответствие в "противоположном" направлении между когерентными пучками на торическом многообразии и конструктивными пучками на вещественном торе уже было предсказано А.И. Бондалом и исследовалось в работах [7, 17, 30] и других.

В данной диссертации представлено описание категории превратных пучков на гладком торическом многообразии X с действием тора Т, соответствующем вееру А, как категории конечномерных модулей над алгеброй А(А), центром которой, как и в одномерном случае, является алгебра функций двойственного тора ТРанее эта задача решалась в диссертации Д. Дюпон [16], формулировка основного результата которой, однако, оказалась неточной, и отличается от той, что представлена в данной работе. Аналогичное описание в терминах модулей над алгеброй получено и для категории С-эквивариантных превратных пучков для любой замкнутой алгебраической подгруппы С С Т. Также доказывается, что производная категория от категории превратных пучков эквивалентна подкатегории объектов с конструктивными когомологиями в производной категории пучков. В случае, когда стратификация не зафиксирована априори, это утверждение - классический результат Бейлинсона [5].

Некоторые результаты в том же направлении получены и для некоторых сингулярных торических многообразий. Для этого был использован другой подход. Классически, категория превратных пучков индуктивно строится из категорий локальных систем конечного типа на стратах. Если же отказаться от условия конечности , то полученная категория (которую мы тоже называем просто категорией превратных пучков) будет иметь проективный генератор. Для доказательства этого факта были использованы результаты работы А.И. Бондала и А. Бодзенты [8], и это позволило построить эквивалентность категории превратных пучков с категорией модулей над (противоположной) алгеброй эндоморфизмов проективного генератора. Таким образом было получено описание категории превратных пучков для некоторых сингулярных торических многообразий, среди которых все аффинные торические поверхности.

Соглашения и обозначения

В данной работе под торическим многообразием мы будем понимать нормальное комплексное торическое многообразие с аналитической топологией, а под конусом - строго выпуклый рациональный полиэдральный конус. Иногда для конуса а мы также будем обозначать а веер из всех граней а. т — а обозначает, что т является гранью а. Пучки будут принимать значения в к-векторных пространствах над полем к. Под превратным пучком понимается превратный пучок для средней превратности с соглашением о сдвигах таком, что для гладкого многообразия X и постоянного пучка кх объект кх [п] превратный. Также при работе с торическими многообразиями будем по умолчанию считать, что превратные пучки конструктивны относительно стратификации орбитами тора. Категория превратных пучков на многообразии X со стратификацией Е будет обозначаться за Регу(Х) или Регух;(Х), если требуется указать стратификацию Е. Также для производных функторов типично не будут использоваться специальные обозначения. Например, для производного функтора прямого образа используется обозначение вида ]* вместо Щ*. Мы также будем опускать выбор фиксированной точки при работе с фундаментальными группами и писать просто п1(Х). Так как все встречающиеся в работе фундаментальные группы будут коммутативными, это сокращение не должно привести к путанице.

Превратные пучки на торических многообразиях: гладкий случай

Широко известно, что данные превратного пучка на С со стратификацией нулём и дополнением эквивалентны данным пары к-векторных пространств и отображений между ними

таких, что idф — уи и idф — иу обратимы [38, 4]. Нашей целью будет получить аналог этого результата для превратных пучков на произвольном гладком торическом многообразии. Оказывается, что удобнее будет получить результат в виде некоторой категории модулей, а не категории диаграмм векторных пространств.

Пусть N - решётка подгрупп алгебраического тора Т = (Сх)"", а А - регулярный веер в N, т.е. такой, что набор целочисленных порождающих любого конуса дополняется до базиса решётки N. Пусть веер А состоит из д конусов, из которых т одномерны. Обозначим порождающие лучей веера через Уг € N, г = 1,... ,т. Рассмотрим алгебру матриц размера д х д, обозначаемую Ма^(к[Ж]). Строки и столбцы такой матрицы будем индексировать конусами веера и обозначать Ма,Т элемент матрицы М в строке а и столбце т для а,т - некоторых конусов А. Наконец, определим

и

V

А(А) = {М € Ма^(к[Ж]) | Ма,т делится на Д (1 — Уа, т}.

Нетрудно проверить, что это действительно алгебра и что её центр в точности состоит из скалярных матриц. Есть и более геометрический способ определить эту алгебру. Рассмотрим двойственный тор Тv = Spec k[N] и тривиальное расслоение Е ранга q на нём с базисом пространства сечений еа, проиндексированным конусами а веера А. Тогда алгебра А(А) - алгебра эндоморфизмов Е, которые сохраняют в слоях над дивизорами V(1 — Vi) подрасслоения, порожденные элементами базиса еа такими, что Vi </ а. Также заметим, что фундаментальная группа тора ж\(Т) естественным образом идентифицируется с решёткой N, то есть центр А(А) изоморфен групповой алгебре фундаментальной группы открытой орбиты. Первым основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 0.1. Категория Регу(Хд) превратных пучков на гладком торическом многообразии Хд, конструктивных относительно стратификации орбитами, эквивалентна категории A(A)-mod^d конечномерных левых А(А)-модулей.

Произвольное гладкое торическое многообразие покрывается аффинными ториче-скими многообразиями вида Cn х (Cx)m. Превратные пучки на пространствах такого вида были описаны как диаграммы векторных пространств в работе Ф. Мезонобе, А. Галлиго и М. Гранже [20]. Также широко известно, что превратные пучки удовлетворяют спуску в гладкой топологии (Гротендика), и в частности, спускаются вдоль открытых покрытий. Эта идея была использована в диссертации Д. Дюпон [16], чтобы получить описание категории превратных пучков на гладком торическом многообразии как некоторой категории диаграмм векторных пространств. К сожалению, описание соотношений, которым должны удовлетворять отображения в этих диаграммах, не совсем корректно. Вариант теоремы 0.1 и её аналога в эквивариантном случае (который будет сформулирован далее) для проективных торических многообразий и орбифолдов формулируется, но не доказывается, в работе Б. Гемеджа, М. Макбрина и Б. Вебстера [21].

Теперь перейдём к эквивариантной ситуации. Пусть G - замкнутая алгебраическая подгруппа тора Т, действующего на торическом многообразии. Рассмотрим точную последовательность

1 ^ G ^ Т ^ T/G ^ 1.

Алгебраическая группа Т' = T/G тоже будет алгебраическим тором размерности dim Т — dim G. Обозначим его решётку подгрупп через N'. Отображение Т ^ Т' индуцирует отображение k[N] ^ k[N'], с помощью которого можно определить алгебру

Ag(A) = А(А) 0 k[N'],

k[N ]

где k[N ] вложена в А (А) как подалгебра скалярных матриц. Вторым существенным результатом диссертации является следующее утверждение.

Теорема 0.2. Категория Регус(Хд) эквивариантных относительно G превратных пучков на гладком торическом многообразии Хд, конструктивных относительно

стратификации орбитами, эквивалентна категории AG(A)-mod^d конечномерных левых Ag (А) -модулей.

Отметим, что G-эквивариантные превратные пучки - это, практически по определению, превратные пучки на фактор-стеке [Хд/G], так что этот результат даёт описание категорий превратных пучков, в частности, на торических орбифолдах.

Теорема 0.1 следует из частного случая Теоремы 0.2, в котором Хд квазиаффинно. Действительно, конструкция Кокса позволяет представить гладкое торическое многообразие Хд как фактор U/G, где U - квазиаффинное торическое, а G - подгруппа тора, действующего на U, причём G действует на U свободно. Тогда морфизм факторизации U ^ Хд является главным G-расслоением и существует эквивалентность PervG(^) = Регу(Хд). Нетрудно убедиться, что если Аи - веер многообразия U, то Ag(Av ) = А(А).

Производная категория превратных пучков

Теперь перейдём к рассмотрению производных категорий. Пусть X - многообразие с хорошей стратификацией Е. Так как Perv^(X) - сердцевина ¿-структуры на триангулированной категории, допускающей фильтрованную версию, то имеется ¿-точный триангулированный функтор реализации

real : Db(Perv^(X)) ^ D^(X),

ограничение которого на Perv^(X) совпадает с включением Perv^(X) ^ D^ (X) [2, 5]. Этот функтор редко является эквивалентностью. Теорема Бейлинсона гласит, что если не фиксировать стратификацию априори, то аналогичный функтор из категории всех превратных пучков будет эквивалентностью категорий [5]. Тем не менее, существует класс стратификаций, для которых функтор real всё ещё будет эквивалентностью.

Определение 0.3. Стратификация Е аффинного многообразия X называется реализуемой, если

1. Е хорошая,

2. каждый страт Xs, s Е Е, гладкий, аффинный и связный,

3. на каждом страте Xs, s Е Е, функтор

real : DbLocit(Xs) ^ Dbloci(Xs) является эквивалентностью,

4. если Z и W - замкнутые объединения стратов X таких, что Z С W и W \ Z состоит из одного страта, то Z = f-1(0) для некоторой регулярной функции f : W ^ A1.

Стратификация £ многообразия X называется реализуемой, если X может быть покрыто конечным числом открытых подмногообразий Ui таких, что каждое Ui является аффинным объединением стратов X и полученная таким образом стратификация Ui реализуемая.

Следующий результат диссертации - это версия теоремы Бейлинсона.

Теорема 0.4. Пусть X - алгебраическое многообразие с реализуемой стратификацией £. Тогда функтор реализации

real : DbPerv^(X) ^ D^(X)

является эквивалентностью категорий.

Доказательство получается небольшой модификацией рассуждения из статьи А. Бейлинсона [5]. В качестве приложения получаем, что стратификация орбитами уже не обязательно гладкого торического многообразия Хд реализуема.

Следствие 0.5. Пусть X - торическое многообразие со стратификацией орбитами £. Тогда функтор реализации

real : DbPerv^(X) ^ D^(X)

является эквивалентностью категорий.

В качестве мотивации отметим работу Д. Надлера и Э. Заслова [36], в которой категории вида D^ (X) были связаны с некоторыми версиями категорий Фукаи Fuk(T*Х).

Превратные пучки на торических многообразиях: общий случай

Последняя глава диссертации посвящается изучению категорий превратных пучков на негладких торических многообразиях. Для этого мы сначала несколько увеличим исследуемую категорию. Категории Perv^ (X) классически получаются склейкой из категорий локальных систем конечного типа. Если же отказаться от условия конечности, то окажется, что полученная категория (которую мы тоже называем просто категорией превратных пучков) будет иметь проективный генератор. Рассмотрим recollement-диаграмму

3\

Vi

V

J*

*

J

Пусть на Т>г задана ¿-структура с сердцевиной Лг. Обозначим за Л сердцевину склеенной ¿-структуры на Т>. В такой ситуации результат А.И. Бондала и А. Бодзенты (который будет строго сформулирован в разделе 1.2) позволяет при некоторых условиях

описать проективный генератор Л с помощью проективных генераторов в Мы воспользуемся этим для вычисления проективных генераторов в категориях превратных пучков (однако, уже с не обязательно конечномерными слоями) на некоторых ториче-ских многообразиях, среди которых все аффинные поверхности. Насколько известно автору, это даёт первое явное описание категории Регу(Хд) для какого-либо сингулярного торического многообразия Хд.

Краткое содержание работы

В главе 1 вводятся определения основных объектов, изучению которых посвящена диссертация, а также формулируются некоторые результаты. Эта глава не содержит оригинальных результатов автора.

Глава 2 посвящена изучению превратных пучков на гладких торических многообразиях. Здесь формулируется и доказывается первый основной результат диссертации -теорема 2.3, описывающая категорию превратных пучков на гладком торическом многообразии как категорию модулей. Следующие разделы посвящены её доказательству. В разделе 2.2 содержатся предварительные сведения о теории монадического спуска, с помощью которой в этом же строится теория спуска для модулей. В разделе 2.3 мы заканчиваем доказательство теоремы, устанавливая эквивалентность теории спуска на стороне модулей с теорией спуска на стороне превратных пучков и совмещая это с явно построенной эквивалентностью в аффинном случае. Последний раздел 2.4 содержит теорему 2.13 - обобщение предыдущего результата на эквивариантный случай.

Глава 3 посвящена доказательству теоремы 3.4, версии теоремы Бейлинсона для случая фиксированной стратификации. Здесь также вводится понятие реализуемой стратификации, которое участвует в формулировке теоремы 3.4, и проверяется, что стратификация торического многообразия орбитами является реализуемой.

В главе 4 мы переходим к большей версии категории превратных пучков на то-рическом многообразии и находим её проективный генератор в некоторых конкретных случаях. В разделе 4.1 мы описываем процедуру склейки, с помощью которой мы будем конструировать проективный генератор, а также проделываем связанную с ней техническую работу. В следующем за ним разделе 4.2 мы вычисляем проективный генератор в случае произвольной аффинной торической поверхности. В последнем разделе 4.3 мы переходим к эквивариантному случаю и приводим эвристические рассуждения, которые позволяют оценить ожидаемый размер проективного генератора из знания об устройстве категории превратных пучков с коэффициентами положительной характеристики.

Основные положения

В диссертации строятся эквивалентные формы абелевых категорий превратных пучков на торических многообразиях, а также получено описание их производных категорий. Основными результатами являются следующие теоремы:

Теорема. Категория Perv(XA.) превратных пучков на гладком торическом многообразии Хд, конструктивных относительно стратификации орбитами, эквивалентна категории A(A)-mod^d конечномерных левых А(А)-модулей.

Теорема. Пусть X - торическое многообразие со стратификацией Е орбитами тора. Тогда

real : DbPervs(X) ^ Dbs (X) является эквивалентностью категорий.

Для конуса а = (v1,v2), где v1 = (0,1) и v2 = (d, -к), имеется эквивалентность категорий Perv(XCT) = A(a)-modfd.

Теорема. Определение алгебры А(А) можно найти в главе 2 диссертации, а алгебры А(а) - в главе 4.

Теоретическая и практическая значимость работы

Значимость работы теоретическая. Представленные в диссертации описания категорий превратных пучков делают возможными явные вычисления, которые могут представлять интерес в теории представлений или для изучения микролокальных объектов на торических многообразиях. Результат о производной категории от категории превратных пучков позволяет связать эту категорию с производной категорией конструктивных пучков, имеющей интерпретацию в терминах зеркальной симметрии. Последний основной результат диссертации даёт первый пример явного описания категории превратных пучков на каком-либо сингулярном торическом многообразии.

Личный вклад

Все результаты диссертации получены лично автором данной работы.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы или приняты к публикации в следующих статьях:

• С. В. Гуминов, "Превратные пучки на торических многообразиях и стеках", Ма-тем. заметки, 117:4 (2025), 620-625

• С. В. Гуминов, "Превратные пучки на гладких торических многообразиях и стеках", Изв. РАН. Сер. матем., принята к печати и будет опубликована в журнале в 2025 г.

Апробация и степень достоверности

Все результаты диссертационного исследования сопровождаются полными доказательствами. Результаты диссертации были представлены в следующих докладах на семинарах и конференциях:

• "Превратные пучки на торических многообразиях и стеках", Весенняя школа-конференция Института Эйлера по теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии, СПБГУ, Санкт-Петербург, 05.05.2024

• "Превратные пучки на торических многообразиях и стеках", Семинар Лаборатории алгебраической геометрии и её приложений, ВШЭ, Москва, 17.05.2024

• "Превратные пучки на торических многообразиях и стеках", IV Конференция математических центров России, СПБГУ, Санкт-Петербург, 08.09.2024

• "Perverse sheaves on toric varieties and stacks", MS Seminar, Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (IPMU), Kashiwa, Japan, 26.11.2024

("Превратные пучки на торических многообразиях и стеках", семинар по зеркальной симметрии, Физико-математический институт имени Кавли (IPMU), Касива, Япония, 26.11.2024)

• "(Equivariant) perverse sheaves on toric varieties", Noncommutative and Derived Geometry Seminar, Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS), Shanghai, China, 24.03.2025

("(Эквивариантные) превратные пучки на торических многообразиях", семинар по некоммутативной и производной геометрии, Шанхайский институт математики и междисциплинарных наук (SIMIS), Шанхай, Китай, 24.03.2025)

1 Предварительные сведения

1.1 Торическая геометрия

В работе мы будем изучать комплексные торические многообразия. Основными источниками по торической геометрии нам послужили книги [19, 15, 37]. Под торическим многообразием мы будем понимать нормальное комплексное алгебраическое многообразие X с действием тора Т = (Cx)ra таким, что у тора есть открытая орбита О0 С X, на которой тор действует свободно.

Тору Т можно сопоставить две (канонически двойственные) решётки ранга п: решётку характеров М = Hom(T, Cx) и решётку кохарактеров (также называемую решёткой однопараметрических подгрупп) N = Hom(Cx,T), где морфизмы берутся в категории алгебраических групп.

Конусом будем называть сильно выпуклый (т.е. не содержащий прямых) конус с вершиной в нуле в пространстве N ® Q (также некоторые авторы предпочитают работать в пространстве N ® R), порождённый конечным числом векторов из N. Конус, порождённый векторами V\,... ,Vk, мы иногда будем обозначать за {v\,..., Vk). Лучом мы называем одномерный конус. Грань конуса - это пересечение конуса с некоторой опорной гиперплоскостью, то есть гиперплоскостью Н такой, что весь конус попадает в одно из двух полупространств, на которые Н делит N ® Q. Для пары конусов а, т обозначение а С т подразумевает, что а является гранью т.

Веер А - это конечное множество конусов а С N ® Q таких, что для всех а,т Е А пересечение а П т является гранью обоих конусов а и т, и что если а С т и т Е А, то и а Е А.

Конусу а С N ® Q сопоставляется аффинное торическое многообразие Ua следующим образом. Рассмотрим двойственный конус av С М®Q. Его пересечение с решёткой av П М оказывается конечно порождённой полугруппой. Спектр её групповой алгебры C[av П М] обозначается за Ua. На Ua есть естественное действие тора: замкнутые точки Ua соответствуют гомоморфизмам полугрупп av П М ^ C, и результат действия t Е Т на (m ^ 7(га)) - это гомоморфизм (т ^ m(t)j(га), где т Е av П М рассматривается как гомоморфизм из Hom(T, Cx).

Для двух конусов веера т С о имеется каноническое вложение av С тv, которое даёт гомоморфизм C[av П М] ^ C[rv П М], а значит и отображение Spec C[rv П М] ^ Spec C[av П М]. Это отображение оказывается открытым вложением UT С Ua. Более того, оказывается, что UT П Ua = UariT, и все вложения должным образом согласованы с пересечениями и с действием тора, поэтому Ua для а Е А образуют аффинное покрытие алгебраического многообразия Хд.

Так как мы работаем над алгебраически замкнутым полем C, мы можем позволить в дальнейшем не различать явно торическое многообразие как схему и её множество замкнутых точек как алгебраическое многообразие. Под открытым множеством мы всегда будем понимать открытое в топологии Зарисского множество, а комплексно-аналитическую топологию будем использовать только при работе с пучками.

Таким образом, мы описали, как по вееру строится торическое многообразие.

Важнейшим фактом торической геометрии является то, что это взаимно однозначное соответствие торических многообразий с действиями тора Т (с точностью до Т-эквивариантного изоморфизма) и вееров в N 0 Q. При этом соответствии эквивари-антные относительно действий торов морфизмы Хд ^ Хд в точности соответствуют линейным отображениям N ^ N' таким, что они переводят А С N 0 Q в подвеер А' С N' 0 Q.

Конус называется регулярным (также гладким), если его набор целочисленных порождающих v\,... ,Vk G N можно дополнить до базиса решётки N, и симплициальным, если этот набор порождающих можно дополнить до базиса векторного пространства N 0 Q. Веер называется гладким или симплициальным, если таковы все его конусы. Также симплициальным называется и соответствующее симплициальному вееру многообразие. Название не случайно: многообразие Хд гладкое тогда и только тогда, когда веер А гладкий.

Нам будет полезна следующая конструкция торических многообразий, известная под названием конструкции Кокса или Батырева-Кокса [14]. Рассмотрим веер А С Qn с порождающими его лучей vi, г = 1,... ,т. Также для простоты предположим, что А не лежит ни в одной гиперплоскости. Иначе Хд содержит алгебраический тор как сомножитель, который можно отбросить. Построим новый веер А' в Qm, в котором мы считаем выбранным базис ei, г = 1,... ,т. У него будет m лучей, порождённых ei, и конус (ei1,... ,eik ) будет принадлежать вееру А' тогда и только тогда, когда (vi1,... ,vik ) является конусом веера А. Тогда линейное отображение Qm ^ Qn, переводящее ei в vi, переводит веер А' в А, и потому задаёт морфизм торических многообразий -к : Хд ^ Хд.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гуминов Сергей Владимирович, 2025 год

Список литературы

[1] P. N. Achar. Perverse sheaves and applications to representation theory, volume 258. American Mathematical Soc., 2021.

[2] A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, and O. Gabber. Faisceaux pervers, volume 4. Societe mathematique de France Paris, 2018.

[3] A. Beilinson, V. Ginzburg, and W. Soergel. Koszul duality patterns in representation theory. J. Am. Math. Soc., 9(2):473-527, 1996.

[4] A. A. Beilinson. How to glue perverse sheaves. X-theory, arithmetic and geometry, Semin., Moscow Univ. 1984-86, Lect. Notes Math. 1289, 42-51 (1987)., 1987.

[5] A. A. Beilinson. On the derived category of perverse sheaves. In K-Theory, Arithmetic and Geometry: Seminar, Moscow University, 1984-1986, pages 27-41. Springer, 2006.

[6] J. Bernstein and V. Lunts. Equivariant sheaves and functors, volume 1578 of Lect. Notes Math. Berlin: Springer-Verlag, 1994.

[7] A. Bondal. Derived categories of toric varieties. In Convex and Algebraic geometry, Oberwolfach conference reports, EMS Publishing House, volume 3, pages 284-286, 2006.

[8] A. Bondal and A. Bodzenta. Gluing projective objects. Препринт.

[9] A. Bondal and T. Logvinenko. Perverse schobers and orbifolds. Препринт.

[10] L. A. Borisov, L. Chen, and G. G. Smith. The orbifold Chow ring of toric Deligne-Mumford stacks. J. Am. Math. Soc., 18(1):193-215, 2005.

[11] T. Braden. Perverse sheaves on Grassmannians. Can. J. Math., 54(3):493-532, 2002.

[12] T. Braden and M. Grinberg. Perverse sheaves on rank stratifications. Duke Math. J., 96(2):317-362, 1999.

[13] T. Braden and V. A. Lunts. Equivariant-constructible Koszul duality for dual toric varieties. Adv. Math., 201(2):408-453, 2006.

[14] D. A. Cox. The homogeneous coordinate ring of a toric variety. J. Algebr. Geom., 4(1):17-50, 1995.

[15] D. A. Cox, J. B. Little, and H. K. Schenck. Toric varieties, volume 124. American Mathematical Society, 2024.

[16] D. Dupont. Exemples de classification de champs de faisceaux pervers. PhD thesis, 2008. These de doctorat dirigee par Maisonobe, Philippe Mathematiques, Universite Nice.

[17] B. Fang, C.-C. M. Liu, D. Treumann, and E. Zaslow. A categorification of morelli's theorem. Inventiones mathematicae, 186(1):79-114, 2011.

[18] I. L. Franco. Tensor products of finitely cocomplete and abelian categories. Journal of Algebra, 396:207-219, 2013.

[19] W. Fulton. Introduction to Toric Varieties. (AM-131). Princeton University Press, 1993.

[20] A. Galligo, M. Granger, and P. Maisonobe. "D-modules et faisceaux pervers dont le support singulier est un croisement normal. In Annales de l'institut Fourier, volume 35, pages 1-48, 1985.

[21] B. Gammage. Microlocal sheaves and mirror symmetry. PhD thesis, UC Berkeley, 2019.

[22] B. Gammage, M. McBreen, and B. Webster. Homological mirror symmetry for hypertoric varieties ii, 2023. arXiv:1903.07928.

[23] S. Gelfand, R. MacPherson, and K. Vilonen. Microlocal perverse sheaves, 2005. arXiv:math/0509440.

[24] G. Janelidze and W. Tholen. Facets of descent. I. Appl. Categ. Struct., 2(3):245-281, 1994.

[25] B. Kahn. On the Benabou-Roubaud theorem, 2024. arXiv:2404.00868.

[26] M. Kapranov and V. Schechtman. Perverse sheaves over real hyperplane arrangements. Ann. Math. (2), 183(2):619-679, 2016.

[27] M. Kapranov, V. Schechtman, O. Schiffmann, and J. Yuan. The langlands formula and perverse sheaves, 2024.

[28] M. Kashiwara. Faisceaux constructibles et systemes holonomes d'equations aux derivees partielles linéaires à points singuliers réguliers. Semin. Goulaouic-Schwartz 1979-1980, Equat. deriv. part., Expose No. 19, 6 p. (1980)., 1980.

[29] M. Kashiwara and P. Schapira. Sheaves on Manifolds: With a Short History. «Les debuts de la theorie des faisceaux». By Christian Houzel. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Berlin Heidelberg, 2002.

[30] T. Kuwagaki. The nonequivariant coherent-constructible correspondence for toric stacks. Duke Mathematical Journal, 169(11), 2020.

[31] A. Kuznetsov and V. A. Lunts. Categorical resolutions of irrational singularities. International Mathematics Research Notices, 2015(13):4536-4625, May 2014.

[32] V. Lunts. Equivariant sheaves on toric varieties. Compos. Math., 96(1):63-83, 1995.

[33] V. Lyubashenko. Exterior tensor product of perverse sheaves. Ukrainian Mathematical Journal, 53(3):354-367, 2001.

[34] R. MacPherson and K. Vilonen. Elementary construction of perverse sheaves. Invent. Math., 84:403-435, 1986.

[35] Z. Mebkhout. Sur le probleme de Hilbert-Riemann. Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory, Proc. Colloq., Les Houches 1979, Lect. Notes Phys. 126, 90-110 (1980)., 1980.

[36] D. Nadler and E. Zaslow. Constructible sheaves and the Fukaya category. J. Am. Math. Soc., 22(1):233-286, 2009.

[37] S. Telen. Introduction to toric geometry. arXiv preprint arXiv:2203.01690, 2022.

[38] J.-L. Verdier. Extension of a perverse sheaf over a closed subspace. Prolongement des faisceaux pervers monodromiques. Systemes différentiels et singularites, Colloq. Luminy/France 1983, Asterisque 130, 210-217; 218-236 (1985)., 1985.